X\ adh A et X \ int A

[invite270c37bc]

bonjour,

j'ai les égalités suivantes dans un espace topo. :

X \adh A = int ( X \A )
X \ int A = adh ( X \A)

Je voulais avoir votre confirmation que ceci ne fonctionne que si X est l'espace entier. En effet, quand je plonge X dans un espace plus grand, il peut me manquer une partie de la frontière de X... (j'ai surtout regardé la première égalité)

si effectivement cette formule ne fonctionne pas si on se place dans un espace topologique plus grand, pourquoi n'est ce pas le cas? N'y a t-il pas une façon de combiner un résultat avec la topologie induite et une intersection ? Je ne trouve rien de ce côté... c'est pas en prennant l'intersection de deux ensembles que je vais réussir à gagner le bord qui me manque...


merci!
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[gg0]

Bonjour.

Ces égalités n'ont pas de sens si les rôles respectifs de X et A ne sont pas précisés. l'intérieur est un ouvert, il n'y a aucune raison que, pour X partie quelconque d'un espace topologique, X \ adh A soit un ouvert.

Je t'invite à rechercher la vraie formule, qui n'est pas seulement une égalité.

Cordialement.

NB : A priori, une égalité n'est pas "vraie". l'égalité x=2y est-elle vraie ? ma question n'a pas de sens puisque je ne dis pas de quoi je parle.

[invite270c37bc]

je suis tout à fait d'accord avec vous. C'est pour ça que en lisant la ligne en dessous des égalités, on apprend que X est l'espace en entier. A est TRIVIALEMENT (il faudrait vraiment ne rien comprendre pour prendre A pas dans X...) dans X.

Aurais je oublier autre chose ? Je ne vois rien d'autre dans mon cours papier, pdf et les livres.


Je suis bien d'accord avec vous sur le fait que d'un côté on a un ouvert et de l'autre ... c'est effectivement le commentaire que je faisais sur le fait qu'il manque le bord. J'imagine que c'est donc la réponse à ma première question? et la deuxième?

[gg0]

Donc tu sais que cette propriété suppose que X est un espace topologique, et A une de ses parties.
Quant au cas où X est une partie d'un espace topologique E, tu sais aussi qu'il est muni d'une topologie induite et qu'on peut appliquer la règle précédente à une partie A de X pour la topologie induite. Reste à trouver des conditions sur X pour que ce soit aussi vrai pour la topologie de E. J'en vois deux, à priori, sans avoir vraiment réfléchi à la question. mais comme c'est ta question, il serait bon que tu t'y mettes ...

Bon travail personnel !

NB : Une technique classique, quand on veut étendre une propriété est de regarder la démonstration de près, pour voir ce qu'on peut affaiblir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite270c37bc]

pourriez vous être plus précis svp? On peut appliquer la règle précédente à une partie A de X pour la topologie induite, donc concrètement ça donne quoi ?
Et il faut trouver des conditions sur X de quel type ? je ne vois pas comment rendre ces propositions vraies pour X. Je ne comprends même pas quelle forme elles pourraient avoir.

J'ai beau étudier les démonstrations dans le cadre topologique et métrique, rien n'en sort.

[invite9dc7b526]

Un espace topologique a la propriété d'être ouvert et fermé dans lui-même.

[gg0]

Comment démontres-tu X \adh A = int ( X \A ) ?

[invite270c37bc]

voila deux méthodes que je connais :

désolé quelques mots en anglais mais j'avais déjà écrit les deux démos en anglais et je pense pas que ce soit si difficile à traduire les quelques mots qui restent.


1. espace métrique et




je dirais que le probleme est à la deuxieme ligne.

2. espace topologique et



Ici peut être à la troisième.

[gg0]

Heu ... c'est assez illisible !
Pas de iff ici, seulement Leftrightarrow. Et tu aurais pu traduire !!
1 : (M,d) est un espace métrique et A une partie de M. On cherche


Pourquoi peux-tu écrire la première équivalence ? Que se passe-t-il si M n'est pas l'espace tout entier, mais seulement une partie de cet espace ?

En fait, en y réfléchissant, la notion de fermeture de A () dépend très fortement de la topologie choisie, donc si A est une partie d'une partie de E, on ne sait plus ce que c'est : Il faut définir si c'est la fermeture dans l'espace entier, ou dans la partie.
Donc le mieux est de laisser tomber et de ne considérer ces formules que avec X espace entier.

Cordialement.

[invite270c37bc]

oui désolé, mais vous savez à quel point écrire en Latex est fatiguant et si il faut répondre aux critères des différentes compilateurs ça devient vite éreintant ...

toujours est-il que c'est bien ce que j'ai écrit dans le cadre métrique.

La première équivalence est vrai car c'est la définition dans le cadre métrique de l’adhérence (ici nié puisque z n'en fais pas parti).
C'est je crois la deuxième qui est problématique si M n'est pas l'espace tout entier. Là on devrait écrire dans la même logique E privé de A...

D'accord donc je laisse tomber c'est votre conclusion? très bien. Merci pour l'aide