EDO y'=y²

[frobenius]

Bonsoir à tous,

En traitant un exercice sur cet EDO, le corrigé fait la remarque que si une solution s'annule en un point alors elle s'annule partout (elle est donc la fonction nulle).
Mais si on considère une fonction solution qui ne serait nulle qu'en un nombre fini de points, cette affirmation entraine que cette fonction est forcément la fonction nulle, mais pourquoi?
Je vois que, si pour un t donné, on a y(t)=0 alors l'EDO donne qu'on a aussi que y'(t)=0 mais cela ne suffit pas non plus pour affirmer cela non?
Par ailleurs, la fonction nulle est solution...

Merci par avance pour un petit éclairage!
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[invite23cdddab]

C'est une conséquence du théorème de Cauchy-Lipschitz.

[frobenius]

Bonjour,

Merci pour ta réponse, Cauchy Lipschitz garantie l'unicité de la solution pour une condition initiale donnée mais pourquoi dans le cas présent cela implique que toute fonction qui s'annule en un point est forcément nulle partout?

[Merlin95]

parce que la fonction nulle est solution, non ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[frobenius]

oui, la fonction nulle est solution, mais pourquoi d'autres solutions ne s'annulant qu'en un nombre fini de points n'existeraient pas en vertu de ce théorème?

[invite23cdddab]

Si tu prends un point ou se séparent les solutions (il existe, par continuité des solutions), alors par unicité locale, ce point n'est pas le point ou se séparent les solutions (puisque la solution est unique sur un voisinage de ce point)

[invite51d17075]

c'est insuffisant.
certes la fct nulle est solution.
on peut ( je crois ) présenter le pb ainsi.
supposons qu'elle soit non nulle ( sauf en un point)
l'équation diff y'=y² devient
y'/y²=1 ce qui donne le résultat évident
-1/y=x+C soit
y(x)=-1/(x+C)
fct non nulle partout.
si elle était nulle en un point, alors la dérivée en ce point ne serait pas définie, de même que la fonction.
qui ne serait donc être nulle en ce point car non définie.
on abouti à une impossibilité.
elle est donc nulle partout, ou nul part.

ce n'est peut être très proprement rédigé.

[Merlin95]

Si tu prends un point ou se séparent les solutions (il existe, par continuité des solutions), alors par unicité locale, ce point n'est pas le point ou se séparent les solutions (puisque la solution est unique sur un voisinage de ce point)

oui, bien vu

[invite51d17075]

pour éviter une ambiguïté, quand j'ai dit "c'est insuffisant", c'était en réponse à :

parce que la fonction nulle est solution, non ?

pas au post de Tryss, que je n'avais pas lu.

[Merlin95]

En fait je ne suis pas bien sûr d'avoir compris la question donc je me retire.

[gg0]

Je redonne la raison du fait qu'une fonction qui s'annule en un point n'est solution de l'équation différentielle que si c'est la fonction nulle :

Si y=f(x) est solution de cette équation, pour chaque condition initiale (x=a; y=f(a)=b) la fonction est unique (théorème de Cauchy Lipschitz appliqué à ce cas). Ce qui veut dire que si g est une autre solution telle que g(a)=b, alors g=f.
On applique à une fonction qui s'annule en a : f(a)=0 et f est solution; or g(x) = 0 la fonction nulle vérifie g(a)=0, donc f=g. la fonction qui s'annule en a est la fonction nulle.

Cordialement.

[frobenius]

Merci, c'est très clair.