Approximation de la fonction zeta par une intégrale

[inviteea5492b6]

N.B : Précision, ici, quand je parle d'intégrale, si ça n'est pas précisé, je parle d'une intégrale simple.

Bonjour,

Depuis peu, j'étudie la fonction zêta de Riemann (pas dans le but de résoudre l'hypothèse de Riemann, juste pour en apprendre plus), et j'ai donc remarqué qu'une intégrale correspond à l'aire délimitée sous une courbe, et donc, on peut affirmer sans trop de soucis qu'il s'agit de la somme des aires des rectangles infinitésimaux en largeur, mais de longueur . Donc, j'ai fait ce postulat :



Après ça, j'ai donc essayé de transformer la fonction zêta en intégrale en utilisant cette équation. Rappelons tout de même que :



Et que l'Hypothèse de Riemann conjecture que tous les zéros non triviaux de cette fonction zêta ont une partie réelle égale à un demi.

Donc, il fallait, pour transformer zêta, déterminer les inconnues, c'est-à-dire a, b et la fonction phi.
Premier problème, la borne inférieure de cette somme est égale à 1 et non à 0 comme le nécessite la transformation.
Ainsi, j'ai réécrit zêta:



Cette réécriture est nécessaire, la limite à de étant l'infini dual.

Ensuite, comme l'infini moins un "égal" l'infini (comprenez, quand t tends vers l'infini positif), on peut écrire :



Ainsi, il n'est pas compliqué de définir que a = 0 et b = 1. Puis, reste à définir la fonction phi, fonction qui, selon la formule, doit respecter la propriété :

Remarquez l'apparition de la variable x qui, certes, est peu commode, mais nécessaire par la suite. Si cela vous dérange vraiment, considérez x comme une variable de phi.

De là, un peu d'algèbre nous montre ensuite que :



De là, vous pouvez donc facilement vérifier que cette fonction respecte ladite propriété essentielle.

On a donc toutes nos inconnues en main, et l'équation par dessus. Et si on applique, on obtient :

(Oui, oui, ça n'est pas très clair ici, on se demande où est passée la variable s, mais attendez encore un peu)

Et donc, si on remplace phi par sa définition :



Ici, on voit donc l'utilité de la variable x qui était sortie de nulle part dans la fonction phi.

Or, après calculs, il s'avère,

de 1 : que



est une bien meilleure approximation de zêta.

de 2 : que cette intégrale est un approximation, ce qui n'est pas logique, ses valeurs devraient converger exactement sur celles de zêta.

de 3 : cette intégrale semble converger vers



Je me suis peut-être trompé dans les calculs, ainsi, je vous invite à les refaire, voire, si vous en trouvez le temps, refaire entièrement le raisonnement, toute aide est la bienvenue.

Ainsi, j'aimerais savoir pourquoi diable ces trois problèmes apparaissent dans le processus ?
Évidemment, si vous avez des questions, je me ferait une joie d'y répondre.

Je vous remercie grandement d'avance, et à la prochaine.
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[inviteea5492b6]

Je précise juste que l'intégrale qui converge vers est bien celle ou on ajoute 1 pour avoir une meilleure approximation