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la fonction zêta



  1. #1
    enigman

    la fonction zêta

    Bonjour. J'ai un petit problème que je ne sais pas résoudre ...
    On considère la fonction :


    On sait que ces pôlessont les zéros de zêta que l'on peut noter et les pôles de zêta.

    Mais comment calculer le résidu de ces pôles ?

    On sait que c'est des pôles simples.
    Donc il suffit de calculer la limite de lorsque s tend vers .
    Mais je ne vois pas comment m'y prendre.

    Merci par avance pour votre aide.
    Cordialement

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    breukin

    Re : la fonction zêta

    Ben tend vers et est équivalent à , puisque .
    Donc votre résidu, c'est ?
    Il faut peut-être supposer que le zéro est simple.

  4. #3
    enigman

    Re : la fonction zêta

    ok merci !

  5. #4
    Ksilver

    Re : la fonction zêta

    Il faut supposer que les zéros est simple.

    de facon général, si f est une fonction holomorphe les poles de f'/f sont les poles et les zéros de f, et le résidu est la multiplicité (positive si c'est un zéro, négative si c'est un pose)

    c'est simple : si z est un ou un pole, par translation on suppose z=0. on ecrit alors le dévelopement en série de f(x) = a_0.x^(k_1) + ...

    f' = k1.a_0.x^(k_1 -1)+ ...

    donc au voisinage de 0, f'/f est équivalent à k1.a_0.x^(k_1 -1) / a_0.x^(k_1) = k_1/x

  6. #5
    breukin

    Re : la fonction zêta

    Je dirais :
    au voisinage du zéro , on a :

    donc :

    donc :

    donc le résidu est .

  7. A voir en vidéo sur Futura

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