Bonjour, en ce qui concerne la fonction zeta de rieman j' ai du mal à comprendre la conjecture associée (l'histoire des zéros isolés).
Si quelqu'un pourait m'éclairer merci.
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Bonjour, en ce qui concerne la fonction zeta de rieman j' ai du mal à comprendre la conjecture associée (l'histoire des zéros isolés).
Si quelqu'un pourait m'éclairer merci.
Il n'y a rien de compliqué : on démontre qu'il existe une (unique) fonctiondéfinie sur C privé de 1, analytique, et telle que, pour
:
.
On prouve que cette fonction s'annule pour les entiers pairs strictement négatifs :.
On prouve que cette fonction s'annule une infinité de fois dans la bande «critique» :.
La conjecture concerne la position des points oùs'annule dans la bande critique.
Bonjour,
La conjecture dit que les zéros non triviaux (ceux qui ne valent pas un entier négatif), ont tous une partie réelle égale à ½. Pas facile à démontrer !!
Il y a un très bon article sur le sujet dans « les dossiers de pour la science » de ce mois-ci, n° 74, consacré aux mathématiques.
A+ MZ
Bonjour, alors si j'ai bien compris cette fonction s'annule pour s (complexe) ayant partie réelle pair et stictement négatif et partie imaginaire quelquonque.
Pour les zéro non triviaux qu'importe la partie imaginaire si la partie réelle égale 0,5 qu'importe la parti imaginaire la fonction zeta égale zéro.
C magnifique!!
Bonjour,
C’est presque ça à quelques détails près :
- Les zéros triviaux ont une partie réelle paire strictement négative et une partie imaginaire nulle,
- Les autres zéros auraient (selon la conjecture de Reimann) une partie réelle valant ½, on ne dit rien de la partie imaginaire,
- Enfin zéta ne s’annule pas pour toute valeur de z=1/2 + iy, en général la somme diverge dans cette zone dite critique.
A+ MZ
Bonjour,
Quel rapport avec la divergence de la série ?en général la somme diverge dans cette zone dite critique.
La fonction zéta de riemann s'annule pour tous les entiers négatifs pairs (-2,-4,-6,-8, etc) qu'on appelle "zéros triviaux", et elle s'annule pour une infinité de nombres complexes z=0,5 +iy et symétriquement pour z=0,5-iy
Riemann a conjecturé que TOUS les zéros non triviaux de zéta, étaient situés sur la droite x=0,5
On a démontré qu'une infinité de ces zéros étaient situés sur x=0,5, mais on n'a pas démontré qu'ils étaient TOUS sur x=0,5
(une comparaison pour comprendre : l'ensemble des entiers pairs est infini, mais l'ensemble des entiers est plus grand).
Bonjour, j'aimerai avoir la démonstraton qui permet de dire que tous les entiers négatifs pairs associé à Zéta donne O.
Merci d'avance.
Cela découle immédiatement de la relation fonctionnelle :
Lorsqueest un entier négatif pair,
, le facteur en sinus est nul.
Je ne comprend pas vraiment du moins d'où ça sort si vous aurez une démonstration plus détaillée ça serait mieux.
Merci
Qu'est-ce que tu ne comprends pas ? D'où vient la formule citée par God's Breath ? Ou comment l'appliquer pour trouver les zéros triviaux ?
La formule est loin d'être une trivialité, tu devrais plutôt jeter un coup d'oeil sur un cours sur la fonction zeta.
Bonjour, oui un cours complet et détaillé serait le bienvenu
Merci
Complet, non, un peu détaillé, oui : http://fip.phys.ens.fr/spip.php?rubrique57
Complet, oui : le superbe livre de Titchmarsh
L'impossible, nous ne l'atteignons pas, mais il nous sert de lanterne. (René CHAR)
Salut,
je ne connais pas le livre de Titchmarsch, mais il y a aussi le livre d'Edwards. Et bien sûr l'article original de Riemann, qui n'a pas vieilli et que l'on peut trouver en ligne.
Cordialement.
Quelques grandes lignes pour la démonstrations de cette formule :
On part de :
valable pour
et de :
valable pour
Par une manipulation de type inversion sommation / intégrale, et changement de variable, on arrive à :
valable pour
L'idée est ensuite d'évaluer l'intégrale suivante :
oùparcourt un contour
dans le plan complexe muni d'une coupure constituée du demi-axe réel positif (donc tout complexe peut y être écrit sous la forme unique
avec
), le contour allant de
en suivant la droite réelle en son dessus jusqu'à
(assez petit :
, contournant complètement
selon un cercle parcouru dans le sens direct, puis revenant à
en suivant la droite réelle en son dessous.
On a alors :
Sachant que l'expression de gauche ne dépend pas dedès lors qu'il est suffisamment petit pour que le contour n'englobe pas de pôle, cette expression de gauche pour un
donné est égale à la limite de l'expression de droite quand
tend vers 0.
Or cette limite est
Tous calculs faits, on arrive à :
Or l'intégrale de droite est définie dans tout le plan complexe (et est indépendante de) : c'est un prolongement analytique de
En particulier, si, on peut l'appliquer à
et l'on trouve que :
Ensuite, on considère l'intégrale de la fonction apparaissant sous cette dernière intégrale, mais sur le contourallant de
à
au dessus de l'axe réel, puis contournant 0 dans le sens direct pour revenir à ce point au-dessous de l'axe réel, puis parcourant le segment précédent dans le sens opposé sous l'axe réel, et rejoignant le point initial en contournant 0 dans le sens indirect.
Cette intégrale est égale à la somme des résidus, d'une part, et d'autre part, en faisant tendrevers l'infini, l'intégrale le long du cercle de rayon
tend vers 0, tandis que le reste tend vers l'expression en fonction de
.
Il ne reste qu'à calculer les résidus, et là, miracle, on fait apparaître la série de Riemann en(à cause du
et des pôles en
dont il faut soigneusement calculer les résidus sans se tromper : les pôles doivent être écrits comme
et
avant de les élever à la puissance
).
PS Il se peut qu'une erreur de signe se ballade...
Dernière modification par breukin ; 09/01/2012 à 22h57.
Salut,
ceci est essentiellement la première démonstration que Riemann donne de l'équation fonctionnelle. La seconde (contenue dans le même article) utilise la modularité d'une fonction theta.
Cordialement.
J'aimerais savoir avec certitude sur le premier billion testé s'il y a eu un quelconque zero non trivial qui ne soit pas sur 1/2.
Si oui existe t il un document discutant ce zero ?
Bonjour.
La réponse est évidemment non, puisque cela aurait réfuté la conjecture.
Cordialement.
Quelque chose doit m'echapper.
http://eljjdx.canalblog.com/archives...3/9045423.html
"""
La fonction semble cependant s'annuler en d'autres points, et on suppose que ces points ont une partie réelle à ½. La question de l'hypothèse est là : montrer que tous les points où s'annule la fonction zêta ont une partie réelle égale à ½.
C'est à dire, si ζ(x+iy)=0, alors x=1/2 (ou x=-2n et y=0)
Ce que l'on sait, pour l'instant, c'est qu'il y a une infinité de zéros non triviaux, et que leur partie réelle est entre 0 et 1. On sait quand même que au moins un tiers des zéros non triviaux ont bien la partie réelle égale à 1/2.
Expérimentalement, il a été vérifié que l'hypothèse est vraie (aux erreurs de calcul près, un ordinateur ne peut représenter les nombres réels de manière exacte) pour les 1 500 000 000 premiers zéros non triviaux. Mais ça ne le justifie pas pour tous !"'"
je ne comprends pas ton problème : Tous les zéros non triviaux dont on a pu tester la partie réelle sont (aux erreurs d'approximation des calculs près) sur la droite des nombres complexes de partie réelle 1/2. On ne peut évidemment rien dire pour les autres. On sait qu'une proportion importante des zéros non triviaux ont une partie réelle égale à 1/2, mais ça ne dit rien des autres.
Et bien sûr, si on trouvait un zéro non trivial dont la partie réelle n'est pas 1/2, la conjecture (**) serait simplement fausse. "ça ne le justifie pas pour tous"
Cordialement.
(**) Ce n'est toujours qu'une conjecture, une propriété mathématique non démontrée, mais dont on n'a pas démontré qu'elle est fausse. Parler "d'hypothèse" est d'ailleurs malsain.