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Nombre de SKEWES



  1. #1
    Gabriel

    Arrow Nombre de SKEWES


    ------

    J'ai lu dans un bouquin que le nombre de skewes était égal à e puissance e puissance e puissance e puissance 7,5

    et que ce nombre était égal à environ 10 puissance 10 puissance 10 puissance 34.

    et que ce nombre avait 340 chiffres.

    D'après mes souvenirs de lycée, je trouve 3400 chiffres.

    Pourriez-vous m'éclairer sur ce nombre de skewes, qui est la plus petite valeur au delà de laquelle Pi(x) (nombre de nombres premiers inférieurs à x), est inférieur à Li(x) (Logarithme intégral de x).

    -----

  2. #2
    matthias

    Re : Nombre de SKEWES

    Citation Envoyé par Gabriel
    J'ai lu dans un bouquin que le nombre de skewes était égal à e puissance e puissance e puissance e puissance 7,5
    Il me semblait que c'était .
    Mais c'est une majoration, pas le nombre lui-même. Je crois que ça a d'ailleurs été amélioré depuis.

    Citation Envoyé par Gabriel
    et que ce nombre était égal à environ 10 puissance 10 puissance 10 puissance 34.
    Oui


    Citation Envoyé par Gabriel
    et que ce nombre avait 340 chiffres.

    D'après mes souvenirs de lycée, je trouve 3400 chiffres.
    Ni l'un, ni l'autre. Il a environ chiffres, ce qui est beaucoup plus.

  3. #3
    Pole

    Re : Nombre de SKEWES

    D'après J.-P. Delahaye, il a été ramené à 371 chiffres.
    Ca date de 2000 donc ça a du être changé depuis...
    Mais pour le calcul de Pi(x), on en ait à environ 10^22.
    Seulement, il faudrait vérifier tous les Pi(x), et comme tous les nombres premiers ont été calculés entre 1 et 10^16, je pense que ça a du être testé.

    Pole.
    Pour comprendre la récursivité croisée, il faut comprendre les arbres d'appels. Et vice versa.

  4. #4
    Gabriel

    Arrow Re : Nombre de SKEWES

    D'après mes souvenirs de lycée,
    x à la puissance y à la puissance z
    est égal à
    x à la puissance (x que multiplie z).

    Donc, j'en déduis que
    10 à la puissance 10 à la puissance 34
    est égal à 10 à la puissance 340
    et donc, ce nombre est constitué de 340 chiffres (340 zéros).

    Est-ce que je fais une erreur ?

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    rvz

    Re : Nombre de SKEWES

    Bonjour,

    Je ne sais pas si c'est une erreur : En fait, ça dépend du parenthésage !

    a^(b^c) est différent de (a^b)^c = a^(bc).

    __
    rvz

  7. #6
    Pole

    Re : Nombre de SKEWES

    Ce qui donne un nombre de 10^un nombre de 10.000.000.000.000.000.000.000 .000.000.000.000 chiffres soit très très très grand.

    Car là, c'est 10101034 et non ((1010)10)34. Ce qui change vraiment tout.

    Pole.
    Pour comprendre la récursivité croisée, il faut comprendre les arbres d'appels. Et vice versa.

  8. #7
    Gabriel

    Arrow Re : Nombre de SKEWES

    Merci pour vos réponses, mais même en tenant compte du parenthésage, je ne vois pas la différence entre :
    a^(b^c) et (a^b)^c

    Prenons un exemple simple :
    10^(10^10) = 10^(1 suivi de 10 zéros) = 10 multiplié 10 milliards de fois par lui-même = ?

    (10^10)^10 = (1 suivi de 10 zéros)^10 = (1 suivi de 10 zéros) multiplié 10 fois par lui-même = ?

    J'avoue que je suis noyé ...
    J'ai besoin de vos lumières.

  9. #8
    Pole

    Re : Nombre de SKEWES

    Pour le premier, c'est 10^10.000.000.000 soit un nombre de 10.000.000.001 chiffres.
    Pour le deuxième, c'est 10.000.000.000^10 soit un nombre de 101 chiffres.
    Il faut se dire que a^b (avec a différent de b) est différent de b^a.

    Un autre exemple avec des petits nombres :
    2^(2^3)=2^8=256
    (2^2)^3=4^3=2^6=64

    J'espère t'avoir aidé, Pole.
    Pour comprendre la récursivité croisée, il faut comprendre les arbres d'appels. Et vice versa.

  10. #9
    Gabriel

    Arrow Re : Nombre de SKEWES

    Merci "Pole". Effectivement, avec des petits chiffres, l'évidence saute aux yeux, l'exponentielle n'est pas commutative ni associative comme la multiplication.

    J'en déduis que l'écriture sans parenthèse que j'avais lu dans un bouquin de math :
    10^10^34 est en fait égal à (10^10)^34

    Le 1er nombre de SKEWES n'est donc pas si énorme que ça. Vivement les ordinateurs quantiques pour calculer précisément ce 1er nombre de SKEWES et les suivant, puisque LITTLEWOOD a démontré que la fonction Pi(x) coupait une infinité de fois la fonction Li(x).

  11. #10
    Pole

    Re : Nombre de SKEWES

    Tu es sûr que tu n'as pas oublié un 10^?

    La règle est que abc=a(bc).
    Même chose avec plus de puissances.

    Pole.
    Pour comprendre la récursivité croisée, il faut comprendre les arbres d'appels. Et vice versa.

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