Processus Stochastique

[lefajele]

Bonjour à tous le monde, j'espère que vous vous portez tous bien malgré la crise liée au COVID-19.
D'autre part, j'espère également être dans le bon groupe pour poser mon problème. Bon voilà, j'ai un exercice en processus stochastique et je suis un peu bloqué parce que j'ai pas bien compris cette partie du cours. L'énoncé en question c'est :

Etude d’une population.
On souhaite observer l’évolution d’une espèce animale en voie de disparition. On possède les hypothèses suivantes :

• La population initiale est de 100 individus à parité sexuelle et d’âges uniformément répartis..
• Chaque couple donne par an en moyenne un enfant.
• La durée moyenne de vie d’un individu est de 3,5 ans.

On souhaite connaître ce que deviendra cette espèce dans 20 ans. Quelle est votre réponse ?


Je me dis qu'à ce niveau il faut utilisé un processus de naissance et de mort pour pouvoir trouver la solution mais comme je l'ai dit j'ai pas vraiment compris cette partie du cours.
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[Opabinia]

Bonjour,

J'ai eu l'occasion d'aborder des problèmes semblables.

Je crois qu'il faut découper la population en tranches d'âges, l'année représentant l'unité de temps.

La population est à la date (t) constituée des effectifs partiels:
- U₀(t): individus nés au cours de l'année considérée,
- U₁(t): individus nés l'année précédente,
- U₁(t): individus nés deux ans auparavant, donc au cours de l'année (t - 2), etc.

L'effectif total est: U(t) = U₀(t + U₁(t + U₂(t) + ... ;
celui des naissances se produisant l'année suivante:
U₀(t + 1) = 0.5 * U(t)
(à raison d'un petit par couple et par an, et en supposant tous les individus capables de se reproduire).

Le problème est la loi de survie d'une année sur l'autre, qui n'est pas précisée dans l'énoncé; s'agit-il:
a) d'une loi géométrique ? on aurait alors U_{n + 1}(t + 1) = (1 - m)*U_n(t)
avec un taux de mortalité fixe mais (grave inconvénient) un âge théoriquement illimité,
à moins de décréter un taux de mortalité m = 100 % à partir d'un âge maximal (ce qui n'est pas irréaliste);
b) d'une loi de décroissance linéaire, se traduisant par la relation U_k(t + k) = (1 - k/N)*U₀(t) ?
Les individus ne dépasseraient pas l'âge maximal k = N , que l'on pourrait relier à l'âge moyen k_moy = 3.5 a .

À toi de poursuivre.

[Opabinia]

J'ai envisagé une simulation, ce qui est peut-être beaucoup trop compliqué.

Il suffit probablement d'envisager un calcul simple sur l'équation différentielle (dU/dt) = (n - m)U ,
ou si l'on s'en tient aux variations finies d'une suite: U_{t + 1} - U_t = (n - m)U_t ,
équations dans lesquelles interviennent
- le taux de natalité n = 0.5 a^-1 ,
- un taux de mortalité (m) correspondant à la vie moyenne indiquée.