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Pourquoi l'intégrale de Gauss n'est-elle pas nulle ?



  1. #1
    invite78226601

    Pourquoi l'intégrale de Gauss n'est-elle pas nulle ?


    ------

    Bonjour !!

    J'ai un problème sur le calcul des intégrale en exp(-t^2) le voici :
    t --> exp(-t^2) est continue sur R et exp(-t^2) = o (1/t^2) quand t--> ± infini (par croissances comparées) ; donc l'intégrale de - infini à + infini de exp(-t^2) existe bien
    comme t --> exp(-t^2) / (-2t) est une primitive de t --> exp(-t^2) sur R*
    je pensais donc que : intégrale de - infini à + infini de exp(-t^2) = [lim en + infini de exp(-t^2) / (-2t)] - [lim en - infini de exp(-t^2) / (-2t)] = 0
    mais t --> exp(-t^2) étant continue, positive et non identiquement nulle sur R cela est impossible...

    Pouvez-vous m'indiquer ce qui ne va pas dans ce raisonnement ? J'ai le sentiment que le problème vient du fait que la primitive ne soit pas définie en 0 ... mais en cours nous ne nous sommes jamais préoccupé de la primitive ailleurs qu'aux bornes d'intégration pour ce genre de raisonnement et tout cela est un peu confus pour moi.

    Merci par avance et très bonne journée !!

    -----

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  3. #2
    albanxiii
    Modérateur

    Re : Pourquoi l'intégrale de Gauss n'est-elle pas nulle ?

    Bonjour,

    Citation Envoyé par elisebhn Voir le message
    comme t --> exp(-t^2) / (-2t) est une primitive de t --> exp(-t^2) sur R*
    Ceci est faux.

    Autre méthode : on intègre une fonction strictement positive, le résultat ne peut pas être nul.
    Not only is it not right, it's not even wrong!

  4. #3
    invite78226601

    Re : Pourquoi l'intégrale de Gauss n'est-elle pas nulle ?

    Merci beaucoup pour votre réponse !! Ma question était justement de savoir pourquoi ceci est faux, l’intégrande étant strictement positive sur R j’avais déjà vu que l’intégrale ne pouvait qu’être positive

  5. #4
    minushabens

    Re : Pourquoi l'intégrale de Gauss n'est-elle pas nulle ?

    La fonction t -> exp(-t^2) n'a pas de primitive exprimable à l'aide des fonctions élémentaires. Ca n'est pas juste qu'on ne sait pas la trouver, on peut démontrer qu'il n'en existe pas (grâce à la théorie de Galois).
    Dernière modification par minushabens ; 05/06/2020 à 12h31.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    invite78226601

    Re : Pourquoi l'intégrale de Gauss n'est-elle pas nulle ?

    Très bien merci beaucoup !!

  8. #6
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Pourquoi l'intégrale de Gauss n'est-elle pas nulle ?

    Rappel :

    Avant d'écrire que telle fonction f est une primitive de la fonction g, il est très simple de dériver f. On voit tout de suite si c'est bien une primitive. Mais dans ton cas, il est encore plus évident que t --> exp(-t^2) / (-2t) n'est pas une primitive d'une fonction définie en 0, puisque t --> exp(-t^2) / (-2t) n'existe même pas pour t=0.

    Cordialement.

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