Intégrale nulle=>intégrant nulle

[invite0731164c]

Bonjour!

Je me demandais s'il existait un théorème de la sorte:

Soit f: D->R tel que E D l'integrale de f sur E est nulle. Alors l’intégrant est nul.

Est-ce que ce théorème existe? Si oui, porte-t-il un nom? Si oui, lequel?

Merci
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[NicoEnac]

Bonjour,

Pas besoin de théorème pour cela. Supposez f non nulle et prouvez que cela entraine une contradiction.

[invite76543456789]

Est-ce que ce théorème existe? Si oui, porte-t-il un nom? Si oui, lequel?

Il aura du mal a exister et pour cause, c'est faux, prendre la fonction nulle partout sauf en 0 où elle vaut 1.

[inviteea028771]

Il aura du mal a exister et pour cause, c'est faux, prendre la fonction nulle partout sauf en 0 où elle vaut 1.

Tout dépend dans quels espaces fonctionnels on travaille.

Par exemple, dans L^1, le théorème est vrai (car ta fonction est nulle).

De même, si on travaille dans l'espace des fonctions continues, le théorème est vrai.


Enfin tout ça c'est sous réserve que l'intégrale de f sur E ai bien un sens (si on prend E non mesurable il va y avoir des soucis)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite179e6258]

on dit qu'une telle fonction est "presque partout nulle" à cause de contre-exemples comme celui de MissPacMan ou d'autres plus sophistiqués. Il y a des choses amusantes à voir si on restreint les ensembles E sur lesquelles l'intégrale de f est nulle.

[invite0731164c]

Okay, je vois. Et si on rajoute la condition que f soit continu. C'est plus faux non?

[Seirios]

Dans ce cas, s'il existe tel que , il existe un voisinage de sur lequel soit strictement positif ou strictement positif. Donc .