Integrale t*E(1/t)

[invite56c2d93a]

Bonjour, je bute sur le calcul de cette intégrale (de t*E(1/t) donc, appelons la f) sur ]0,1]
je sais qu'il faut considérer ce calcul comme celui de l'aire sous la courbe, j'ai donc tenté de représenter un carré de coté 1 et de tracer des morceaux de droites comme la moitié de la diagonale du carré etc..
Après en avoir parlé, on m'a dit que cette intégrale revenait à calculer la limite en l'infini de l'intégrale de f mais sur ]1/n,1]
Je pense qu'apres il faut d'abord calculer cette intégrale comme la somme de 1 à n-1 de l'intégrale de f de 1/(k+1) à 1/k
Mais je ne comprends pas vraiment l'égalité avec la limite...
Faut il poser que E(1/t)=k equivaut à t compris entre 1/(k+1) et 1/k ?

Merci pour toute aide, et desolé pour les expressions qui ne sont pas en Latex
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[gg0]

Bonjour.

Ta fonction à intégrer n'est pas définie en 0, donc on définit l'intégrale de 0 à 1 comme la limite de l'intégrale de a à 1 lorsque a tend vers 0 en restant positif.
Ensuite, tu connais la relation de Chasles sur les intégrales, qui permet de calculer comme si ça a un sens.
Ta fonction a des "sauts" quand t arrive à une valeur inverse d'un entier, d'où l'idée de décomposer ton intégrale de a à 1 comme l'intégrale de a à la plus petite valeur 1/n qui est supérieure ou égale à a, puis de 1/n à 1/(n-1), puis ...
En écrivant à l'envers :

Je te laisse montrer que n=E(a).
Et aussi faire le calcul, puis passer à la limite.

Bon travail !

[invite56c2d93a]

ok mais pourquoi fait on cette operation uniquement sur E(1/t) ? ma fonction est t*E(1/t)

[invite56c2d93a]

à la fin j'ai, (Pi^2)/12 - 1/2n
donc l'integrale vaut (Pi^2)/12 non ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

C'est un oubli de ma part, il faut bien entendu prendre tE(1/t) qui vaut kt sur chaque intervalle (k dépendant de l'intervalle.

Je ne sais pas trop d'où sort ton résultat, en particulier le Pi. Même si le résultat final peut s'écrire en fonction de Pi (mais pas 12 si je ne me trompe).
Détaille tes calculs.

Cordialement.

[invite56c2d93a]

si puisque la somme des 1/k^2 vaut Pi/6 et que j'ai du 1/2 devant
en fait j'ai du utiliser maple pour developper le terme de ma somme avant c'est un peu compliqué

[invite56c2d93a]

j'ai dit Pi/6 mais c'est Pi/2 pour la somme des 1/k^2
Quelqu'un aurait un resultat similaire sinon ?
je peux tenter de détailler mes calculs si vous le voulez

[gg0]

Bonjour.

La somme des 1/k² est bien pi²/6. Voir par exemple Wikipédia. Le résultat semble bien être pi²/12 (mon esclave le confirme). Je n'ai pas trop compris ce que tu faisais.

Cordialement.