Bonjour,
Je suis en TS, je n'ai pas vraiment de difficultés à faire mes exercices mais j'ai beaucoup de mal à comprendre pourquoi l'intégrale d'une fonction représente l'aire sous sa courbe représentative. Je comprends qu'il ait un lien, puisque l'aire sous la courbe, représentative de la fonction
dépend directement de
. (logique
)
Et on sait que l'intégrale d'une fonction est aussi une des ses primitives car.
Donc l'aire sous la courbe dépend deet
est la dérivée de la fonction
, ainsi sur un intervalle
quand
est grand, l'aire sous la courbe augmente et le coefficient directeur (
) de la tangente des primitives (donc de l'intégrale) est grand donc, la valeur de l'intégrale augmente. Réciproquement quand
l'aire ne varie pas, le coefficient directeur de la tangente des primitives est nul donc la valeur de l'intégrale est constante et enfin quand
est négatif, l'aire diminue , le coefficient directeur de la tangente est négatif donc la valeur de l'intégrale diminue.
Je comprend donc qu'il y ait un lien mais je ne comprends pas pourquoi l'aire sous la courbe est égal à l'intégrale.
J'ai cherché de partout mais à chaque ils expliquent comment calculer l'aire sous la courbe mais pas pourquoi on agit de cette manière. N'y a-t-il pas une démonstration ou une analogie qui permettrait d'expliquer ou rendre plus compréhensible ce mécanisme ?
Je désir vraiment comprendre et maitriser parfaitement les outils que j'utilise quand je fais des mathématiques. Pour mieux comprendre les intégrales j'ai même lu un livre: En cheminant avec Kekeya mais celui-ci à part m'avoir apporté un contexte historique ne m'a rien apporté de plus que ce que je savais déjà (sur la dérivation et les intégrales).
De plus on présente souvent l'aire sous la courbe d'une fonction comme la somme de rectangles d'une largeur qui tend vers 0.
En notantla largeur de ces rectangles on devrait avoir quelque chose du genre:
.
En appelantl'écart entre
et
on a:
.
Puis en dérivant par rapport àon devrait avoir:
Commeest la dérivée de l'intégrale on devrait avoir:
Mais j'ai du mal à continuer pour vérifier cette égalité.
Un peu d'éclaircissement serait très sympas
Merci d'avance![]()
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