f(x)=x ??

[lilloute23]

Bonjour, dans un exercice que j’ai à faire,
On me demande de montrer que
f(x)= ln(1+e^x)-ln(1+e^-x) est égal à x
Cependant, j’ai beau essayé de chercher je trouve toujours 2x
Pourriez vous me donner une piste afin que je trouve le bon résultat s’il vous plaît?
Sans me donner la réponse, j’aimerais comprendre par moi-même avec seulement un petit indice...
Merci à vous.
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[albanxiii]

Bonjour,

Pouvez-vous poster vos calculs ?
Comme c'est plié en moins d'une ligne, il doit y avoir une grosse erreur quelque part.

[lilloute23]

Ah non en fait je trouve 0 au lieu de 2x,
2x c’était quand je me trompais...
Donc du coup je fais

[jacknicklaus]

Bonjour,

c'est truffé d'erreurs, sans parler de cette notation bizarre où vous écrivez <==> à la place d'un simple signe égal.
Ca ne vous choque pas de trouver que e^x + e^-x = 0 pour tout x ??


Indice pour une solution en 1 ligne : penser à faire apparaître e^x/2 et e^-x/2

[A voir en vidéo sur Futura]

[lilloute23]

En fait je suis censée montrer que
f(x)=x
Soit ln(1+e^x)-ln(1+e^-x) = x
Du coup, j’ai essayé de calculer.
Il me semble que ln(e^x)=x, car le ln et l’exp s’annulent
Du coup, je ne vois pas pourquoi ça
ln(e^x)+ln(e^-x) n’est pas égal à
x + (-x) = 0
Le <=> c’est une erreur de notation (puisqu’on ne résout pas une équation)
Je pense que je vous ai un peu embrouillé avec mon 2x c’est une erreur de ma part...
Du coup, je suis censée trouver f(x)=x mais perso je trouve f(x)=0

[jacknicklaus]

votre 1ère ligne :

ok c'est la valeur de f(x)

votre 2ème ligne :


pourquoi pas, mais ce n'est plus f(x). Ecrivez plutôt ces deux lignes :



votre 3ème ligne, donc exp(f(x)) à priori :

c'est faux !
e^{a - b} n'a jamais fait e^a - e^b
quand bien même ce serait vrai, il y aurait en plus une erreur de signe sur le exp(-x)
même erreur entre les lignes 4 et 5 où vous passez allègrement de
à

ce qui est faux, Ln(A + B) n'a jamais fait Ln(A) + Ln(B)


revoyez les bases...et ayez plus de rigueur dans les écritures. En particulier quand vous passez de f(x) à Ln(F(x), écrivez le explicitement. Vous n'avez pas le droit de mettre f(x) = Ln(f(x)) dans une suite d'égalités

[lilloute23]

D’accord, merci de votre aide
Je vais revoir mes calculs
(Mais juste une petite précision
Ma deuxième ligne ce n’est pas
e^ln(1+e^x)-ln(1+e^-x) mais
e^ln(1+e^x)-e^ln(1+e^-x)
Et pareil pour e^x+e^-x
Je mets d’abord le ln sur les deux exponentielles.).
Après je ne sais pas si ça change quelque chose mais c’était juste pour dire.
Merci.

[jiherve]

bonjour,
piste : ln(a)-ln(b) = ln(a/b).
JR

[ansset]

mais ici tu as des ln(1+e^((+/-)x)) qui ne sont pas des ln(e^x)
rappel :
ln(A)-ln(B)=ln(A/B)
ensuite tu passes à l'exponentielle.
il y a d'autres pistes comme partir de :
1+e^x=e^x(1+e^(-x))

edit: croisement.

[lilloute23]

Bonjour Jiherve, merci.
Mais j’ ai déjà essayé et je ne trouve toujours pas le bon résultat

[lilloute23]

Merci, je vais essayer de voir ce que je peux trouver

[jacknicklaus]

(Mais juste une petite précision
Ma deuxième ligne ce n’est pas
e^ln(1+e^x)-ln(1+e^-x) mais
e^ln(1+e^x)-e^ln(1+e^-x)

alors c'est encore pire. tu as donc écrit, pour passer de la 1ère ligne à la seconde, que e^(A - B) = e^(A) - e^(B), ce qui est faux.

[albanxiii]

Indice pour une solution en 1 ligne : penser à faire apparaître e^x/2 et e^-x/2

J'aurais dit de factoriser par e^x l'argument du premier logarithme

[jacknicklaus]

@albanxiii oui tout à fait. C'est ma manie de l'esthétique qui m'a conduit à ne "voir" que la solution en ré-écrivant avec des e^(x/2) partout.

[ansset]

J'aurais dit de factoriser par e^x l'argument du premier logarithme

marrant, il me semble avoir proposé plus haut :

il y a d'autres pistes comme partir de :
1+e^x=e^x(1+e^(-x))

[lilloute23]

Merci beaucoup !!!
J’ai réussi, en tout cas je pense puisque je trouve f(x)=x
J’ai fait:
ln(e^x(1+e^-x))-ln(1+e^-x)
= ln((e^x(1+e^-x))/(1+e^-x))
=ln(e^x)
= x
Les (1+e^-x) s’annulent
Et on sait que ln(e^x)=x
Pour la factorisation :
e^x*1=e^x
e^x*e^-x = 1 car e^x+(-x)= e^0=1
Je pense que j’ai juste.
Merci vous m’avez bien aidé ansset.