Les preuves de maths devenus fausses

[invite36041331]

Salut,

https://mathoverflow.net/questions/3...wn-to-be-wrong


C'est un fait mémorable que la première preuve connue de l'histoire est fausse: la première proposition d'Euclide qui annonce qu'on peut construire un triangle équilatéral avec un segment donné pour l'un des côtés. On ne peut pas toujours construire ce triangle pour la raison que les cercles qui se coupent dans le plan euclidien (R^2) ne se coupent pas nécessairement dans le plan euclidien rationnel (Q^2)

En connaissez vous d autres ?

Cordialement.
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[Tryss2]

C'est un fait mémorable que la première preuve connue de l'histoire est fausse: la première proposition d'Euclide qui annonce qu'on peut construire un triangle équilatéral avec un segment donné pour l'un des côtés. On ne peut pas toujours construire ce triangle pour la raison que les cercles qui se coupent dans le plan euclidien (R^2) ne se coupent pas nécessairement dans le plan euclidien rationnel (Q^2)

Je ne comprends pas ton argument... La preuve d'Euclide ne concerne pas Q² ou même R²

[pm42]

Je ne comprends pas ton argument... La preuve d'Euclide ne concerne pas Q² ou même R²

Oui, c'est une preuve géométrique. J'ai du mal à comprendre moi aussi mais on va attendre la suite

[Médiat]

Avec la quasi certitude que cela va encore se terminer en troll (sur le thème : si ce qui a été cru vrai s'est déjà révélé faux, pourquoi toutes les mathématiques ne seraient-elles pas fausses), à l'habitude de Dattier :

Plusieurs démonstrations au début de ZF utilisait sans le savoir et surtout sans le dire, ce qui allait devenir l'axiome du choix, ces démonstrations étaient donc fausses..

L'histoire la plus triste que je connaisse est celle de ce mathématicien allemand connu essentiellement, pour ne pas dire uniquement, à cause de ce l'on appelle "L'Erreur de Kirmse"

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Je ne comprends pas ton argument... La preuve d'Euclide ne concerne pas Q² ou même R²

Faut pas s'en faire, Dattier confond sans doute nombres et mesures, confusion que les Grecs de l'antiquité ne faisaient pas

[Seirios]

Il ne faut pas oublier que la notion de preuve acceptable a évolué au cours du temps (et continue d'évoluer). Les preuves telles qu'on les conçoit aujourd'hui sont assez jeunes. Je ne suis pas sûr qu'il soit très pertinent de comparer les arguments d'Euclide avec les standards modernes.

[Deedee81]

Salut,

Attention, Dattier est revenu une bonne dizaine de fois sur cette idée, donc on sait ce à quoi il pense exactement : des théorèmes qui étaient valides mais qui ne le sont plus (ou en tout cas leur démonstration). Alors que lorsqu'on parle d'une démonstration devenue fausse il s'agit en fait de la découverte d'une faille qui avait échappé jusque là. La démonstration était déjà fausse avant mais c'est juste qu'on ne l'avait pas remarqué (heureusement il y a peu de cas, merci à Mediat pour ses exemples).

Il est évident que si aucune erreur a été commise et si les axiomes sur lesquels sont basé le théorème et sa démonstration n'ont pas changé (sinon on ne parle plus de la même chose) alors la démonstration ne peut pas devenir fausse. Ce que Dattier n'a jamais réussi à avaler pour une raison qui m'échappe.

Mais méfiance car Seirios a raison :

Il ne faut pas oublier que la notion de preuve acceptable a évolué au cours du temps (et continue d'évoluer). Les preuves telles qu'on les conçoit aujourd'hui sont assez jeunes. Je ne suis pas sûr qu'il soit très pertinent de comparer les arguments d'Euclide avec les standards modernes.

Je pense que tu as raison, d'où d'ailleurs mon avertissement : il ne faut pas qu'il y ait eut de changement dans les axiomes. Or si on remonte loin on peut avoir des soucis dans la mesure où ces axiomes n'étaient pas toujours clair et bien explicités. On le sait bien pour Euclide mais aussi pour l'axiome du choix cité par Mediat. Il faut remonter à la logique formelle, la refondation de la géométrie, la théorie de la démonstration, etc... (fin du dix-neuvième) pour qu'il n'y ait plus d’ambiguïté. Et heureusement la très grosse majorité des démonstrations (ou re-démonstrations) sont récentes.

Cet avertissement vaut aussi pour les anachronismes comme l'histoire de R² et Q² dans le message de Dattier. La démonstration d'Euclide étant purement géométrique, basée sur ses axiomes, et ne se fait ni dans R² ni dans Q². Sa démonstration est donc toujours correcte.

[Médiat]

Salut

La démonstration d'Euclide étant purement géométrique, basée sur ses axiomes, et ne se fait ni dans R² ni dans Q². Sa démonstration est donc toujours correcte.

Et des postulats, la différence qu'Euclide et autres mathématiciens grecs faisaient entre les deux explicite clairement l'évolution de la notion de "vérité" en mathématique.