fonctions injective? surjective?

[Bou2Bois]

Bonjour

Voila, j'ai un exercice à faire pour un DM mais je suis bloqué. Je dois trouver si des fonctions sont injectives et/ou surjectives. J'ai 3 fonctions. J'ai déjà réussi pour la première qui est f1: x -> x^2 avec x et x^2 appartenant à R.

Mais cela se complique sur les autres.
La deuxième est f2: x -> (x^2,2-x) avec x appartenant à R et (x^2,2-x) appartenant à R+ x R. J'ai déjà fais cela pour l'injectivité :
Soient n et n' dans R tels que f(n)=f(n'):
<=> (n^2,2-n) = (n'^2,2-n')
<=> n^2 = n'^2
2-n = 2-n'
Après cela (si c'est juste) je ne vois pas comment faire.
Pour la surjectivité cette fois :
Il faut trouver x tel que f(x)=(a,b) c'est a dire trouver un antécédent de (a,b):
Donc f(x) = (a,b) <=> (x^2,2-x) = (a,b)
Ici, pareil que plus haut, je ne vois pas comment trouver x a partir d'un couple de valeurs?

La 3eme fonction est f3: (x,y) -> xy avec (x,y) appartenant à R*R et xy à R:
Pour l'injectivité:
Soient (x,y) et (x',y') appartenant à R*R et R*R tels que f(x,y)=f(x',y')
f(x,y)=f(x',y') <=> xy=x'y'
Je bloque sur ce produit.
Pour la surjectivité, je suis totalement coincé
Toute aide est appréciée, merci d'avance. =)
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[gg0]

Bonjour.

Tu as trouvé :
n²=n'²
2-n=2-n'
Et tu ne vois pas comment faire ? Voyons, que veux-tu obtenir ? Comment se simplifie ce système d'équations ? (tu t'arêtes en ^plein milieu du travail, pourquoi ?)
Même chose pour la suite.

Ne demande pas de l'aide aux autres alors qu'il est facile de continuer ...

Cordialement.

[Bou2Bois]

Après je trouve facilement n=n' sur la deuxième ligne mais je peux pas savoir si n=n' sur la première car n et n' sont dans R, donc je ne peux pas prouver que f2 est bien injective(n=n' dans tous le système).
Ensuite, je trouve a=x^2 et b=2-x mais je ne peux pas trouver une seule valeur qui soit un antécédent de ce système car j'obtiendrais un couple de valeur(ici x=racine de x et x=-b+2).

Et pour la 3eme fonction, je ne vois vraiment pas comment faire une fois arrivé à xy=x'y' pour l'injectivité, désolé si c'est facile pour vous.
Pour la surjectivité, je cherche un couple (x,y) qui est antécédent de a.
Donc f(x,y)= a = xy
Et je tombe sur un système x=a/y
y=a/x
Est ce que ce système est antécédent de a ?

Merci de votre aide.

[gg0]

Heu ... si n = n', se peut-il qu'on ait un problème ? Autrement dit, l'équation n²=n'² interdit-elle que n et n' soient égaux ?
Rappel : Les évidences de la vie courante sont aussi des évidences en maths. Les maths ne sont pas de la magie, mais du raisonnement sur les données0

Pour la surjectivité, penses-tu que c'est vrai ou pas (avec ce que tu as déjà fait, ce n'est qu'une question de raisonnement élémentaire) ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Pour la troisième fonction, comme tu fais des multiplications depuis l'école primaire, tu devrais trouver immédiatement pour l'injectivité. Et pour la surjectivité, il te suffit de trouver un x et un y tels que xy=a. C'est assez facile, on ne te demande pas de les trouver tous, mais de prouver que quel que soit a, on peut les trouver. Ici, tu peux même donner des valeurs.

Surtout, ne cherches pas compliqué, ou à imiter d'autres exercices, seulement utiliser tes connaissances.

Cordialement.

NB : Si je te donnais des corrigés, tu dirais "c'était seulement ça, aussi simple !!"

[PlaneteF]

Bonjour,

ici x=racine de x

Non, c'est ou

Cordialement

[Bou2Bois]

Du coup, pour la deuxième fonction:
Je pense qu'elle est injective car x ->x^2 est injective sur R + et x -> 2-x est injective sur R; ainsi x -> (x^2,2-x) est injective sur R+ * R (??).
Cette fonction n'est pas surjective car par exemple, le couple (3,5) n'a pas d'antécédent par f2 : cela revient à x^2=3 donc x = racine de 3 ou -racine de 3
et à 2-x = 5 donc x = - 3 Donc impossible

Pour la troisième :
Elle n'est pas injective car par exemple, 2 a deux antécedents : (1,2) et (2,1) donc la fonction n'est pas injective.
La fonction est surjective car pour tout a appartenant à R, on peut trouver un couple de valeur qui est un antécedent de a : par exemple (1,a) est un antécedent de a : 1 x a = a

Je ne suis pas sur si la méthode pour prouver l'injectivité de la deuxième fonction est valable.
Merci de vos réponses
Bonne soirée

Cordialement

[PlaneteF]

Je pense qu'elle est injective car x ->x^2 est injective sur R +

Sauf que dans ton énoncé il est écrit que, je cite : "avec x appartenant à R"

Cordialement

[PlaneteF]

Je poursuis :

Tu me donnes l'impression de mélanger joyeusement ensemble de départ et ensemble d'arrivée d'une fonction, en l'occurrence .

De toute manière, je ne vois pas pourquoi tu n'arrives pas à conclure à partir de :

et

[Bou2Bois]

L'ensemble de départ de f2 est R mais l'ensemble d'arrivée est R+ x R.
Donc pour moi cela veut dire que x^2 est dans R+ et 2-x est dans R (??).
Je crois que je ne peux pas déduire que x=x' à partir de x^2=x'^2 car l'ensemble de départ est R donc il y a plusieurs solutions.
Du coup je ne peux pas dire que x=x' pour cette équation (x^2=x'^2).

[PlaneteF]

L'ensemble de départ de f2 est R mais l'ensemble d'arrivée est R+ x R.
Donc pour moi cela veut dire que x^2 est dans R+ et 2-x est dans R (??).

... et donc tu ne peux pas invoquer une quelconque injectivité de la fonction carré sur comme tu l'as écrit

Je crois que je ne peux pas déduire que x=x' à partir de x^2=x'^2 car l'ensemble de départ est R donc il y a plusieurs solutions.
Du coup je ne peux pas dire que x=x' pour cette équation (x^2=x'^2).

Tu as :



ou encore




Je te laisse le soin de conclure

[Bou2Bois]

Donc je peux dire que la fonction est injective car je trouve x=x' sur la deuxième équation (2-x = 2-x') et donc peux importe si x = x' ou x = -x' sur la première car on aura un couple de solutions différent avec chaque valeur de x:

Par exemple, si x=8 alors f(8)=(64,-6) et si x=-8 alors f(-8)=(64,10);
Donc la fonction est injective.

[gg0]

Qu'est-ce que tu vas chercher ???? x=-x' n'est pas une solution !! Et si on pouvait avoir x=-x', la fonction ne serait pas injective.

On dirait que tu n'as jamais résolu de système d'équations !! Pourtant la définition est la même : résoudre c'est trouver l'ensemble des solutions, et une solution est une valeur de l'inconnue qui satisfait toutes les équations.
Tu a le système suivant à résoudre :
x²=x'²
2-x=2-x'
Prenons x comme inconnue (x' est alors une valeur fixée). La deuxième équation te donne x=x', et la valeur x' donnée à x dans la première équation donne x'²=x'² qui est vrai. Donc x=x' est une solution et c'est la seule. Fin !

[PlaneteF]

Bonjour,

On peut aussi le regarder d'un point de vue propositionnel (ce qui revient évidemment au même), et l'on a

A partir de là, la conclusion est immédiate