problème injective, surjective...

[invite7cf8d88d]

Exercice:
Soit E, F, G trois ensembles et deux applications f: E-->F , g: E-->G. On définit l'application:
h : { E-->F*G
{ x-->h(x)=(f(x),g(x))

1) Montrer que si f ou g est injective, alors h est injective.

2) Dans cette question seulement, on suppose que h est l'application
[-pi,pi[--> R^2
x-->(sinx,x^2)
h est-elle injective ? Même question pour f et g.

3) Montrer que si h est surjective, alors f et g sont surjectives.

4) Démontrer à l'aide d'un contre-exemple que la réciproque est fausse (c'est à dire: donner une application h non surjective telle que f et g soient surjectives; justifier la réponse).


Voilà ce que j'ai fait pour la question 1:
Soient x et x' deux éléments de E tels que h(x)=(f(x),g(x))=h(x')=(f(x'), g(x')). Alors f(x)=f(x') et g(x)=g(x'). Comme au moins l'une des deux est injective, ceci implique que x=x'. Il en résulte que h est injective.

Pour la suite, je n'y arrive pas... Alors si quelqu'un a la gentillesse de m'aider, ce n'est pas de refus.
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[Thorin]

et bien de -pi à pi, sinus a le bon gout d'etre injective.

pour la 3, c'est quasi immédiat...si pour tout y de la forme (a,b) dans FxG, il existe x tq h(x)=y, on a (f(x),g(x))=(a,b), donc, on a f(x)=a ET g(x)=b, donc f et g sont surjectives.

[Médiat]

et bien de -pi à pi, sinus a le bon gout d'etre injective.

Tu es sur ?

[Thorin]

...de m'être lamentablement trompé, oui !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7cf8d88d]

Ok, mais encore ?

[Thorin]

Essaie de montrer que h est injective.
ça commence ainsi :
soient x, y, tq h(x)=h(y)
alors, sin(x)=sin(y) et x²=y²
, etc...

[invite7cf8d88d]

Mon problème, c'est que cette question est différente de la première, ou on part de f ou g injective pour conclure que h est injective. Pour cette deuxième question, je ne sais pas ce qu'est l'application h, alors pour montrer qu'elle est injective... Je ne vois vraiment pas là...

[Thorin]

bah l'application h c'est :
[-pi,pi[--> R^2
x-->(sinx,x^2)

donc si, on sait très bien ce qu'est cette application.
Et ce qu'on cherche à faire, c'est montrer que la réciproque de la première question est fausse.

[invite7cf8d88d]

Eh bien moi je ne comprend toujours pas...
ça représente quoi : x-->(sinx,x^2)

[God's Breath]

Eh bien moi je ne comprend toujours pas...
ça représente quoi : x-->(sinx,x^2)

Les mathématiques ne s'occupent que de concepts purement abstraits qui ne représentent rien...

[Thorin]

C'est une simple fonction de R dans R²...
à un x donné, au lieu de lui associer une information, on lui en associe ici deux à la fois.

On pourrait par exemple imaginer un bouquiniste utiliser une fonction qui à un livre donné associe d'une part le prix du livre neuf, et d'autre part, le prix du livre en occasion. Le livre est x, le prix neuf est f(x), le prix d'occasion est g(x).