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fonction injective



  1. #1
    Brikkhe

    fonction injective


    ------

    Bonjour à tous...

    Pour faire bref, une fonction injective doit elle etre stct croissante ou décroissante? puisque j'ai ds le cours comme exemple:
    f: x->x²
    f(-2)=f(2); 2 différent de -2 dc f n'est pas injective (j'ai du mal avec cette notion)

    Merci!
    @pluche!

    -----

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  3. #2
    g_h

    Re : fonction injective

    Ce n'est pas forcément une question de stricte croissance ou décroissance.

    Raisonne uniquement avec les antécédents.

    Pour imager un peu, une fonction est injective ssi, si quand tu traces une droite horizontale sur le graphe de la courbe, cette droite coupe au maximum 1 fois (donc 0 fois ou 1 fois) la courbe représentative de la fonction : chaque élément de l'ensemble d'arrivée à au plus un antécédent par f.

    [edit : mon exemple était mal choisi]
    Dernière modification par g_h ; 11/09/2005 à 10h47.

  4. #3
    erik

    Re : fonction injective

    Une fonction injective peux être croissante, décroissante, ou ni l'un ni l'autre.

    Si y->f(x) est injective cela signifie que pour une valeur donnée de y, il existe au plus un antécédent x tel que y=f(x) (dans l'exemple f(x)=x² ce n'est pas le cas puisque pour y=4 on a soit x=2 soit x=-2).
    En d'autre termes si tu traces la courbe représentative de f et une droite d'équation y=constante, les deux courbes ne se coupent qu'en un point ou ne se coupent pas.

    En reflechissant 2 secondes on voit que f est injective si et seulement si quelque soit x et x' , f(x)=f(x') ssi x=x' (ce qui n'est pas le cas dans l'exemple f(x)=x² donc f n'est pas injective)

  5. #4
    C.B.

    Re : fonction injective

    Citation Envoyé par g_h
    Ce n'est pas forcément une question de stricte croissance ou décroissance.

    En notant la partie entière de x, considère la fonction (tordue )
    Elle n'est ni croissante ni décroissante, mais elle est injective de dans (et elle est même bijective)

    Raisonne uniquement avec les antécédents.

    Pour imager un peu, une fonction est injective ssi, si quand tu traces une droite horizontale sur le graphe de la courbe, cette droite coupe au maximum 1 fois (donc 0 fois ou 1 fois) la courbe représentative de la fonction : chaque élément de l'ensemble d'arrivée à au plus un antécédent par f.

    Heu, ta fonction n'est pas injective :


  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    martini_bird

    Re : fonction injective

    Salut,

    oui, en effet: s'il y a un changement de variations d'un fonction f:IR →IR, il existe des éléments qui admettent (au moins) deux antécédents. Ceci met précisément en défaut l'injectivité, que l'on peut reformuler ainsi: à tout élément de l'ensemble d'arrivée, correspond au plus un antécédent.

    Cordialement.

    EDIT: carrambolation, et ce que je dit vaut pour des fonctions continues.

  8. #6
    C.B.

    Re : fonction injective

    Citation Envoyé par marcelito
    Bonjour à tous...

    Pour faire bref, une fonction injective doit elle etre stct croissante ou décroissante? puisque j'ai ds le cours comme exemple:
    f: x->x²
    f(-2)=f(2); 2 différent de -2 dc f n'est pas injective (j'ai du mal avec cette notion)

    Merci!
    @pluche!
    Exemple de fonction injective non croissante et non décroissante :

    f(x)=x+1 si x est rationnel
    f(x)=x si x est irrationnel

    Cette fonction vérifie la propriété suivante : l'image d'un rationnel est un rationnel et l'image d'un irrationnel est un irrationnel.

    Cette fonction est injective car si on a f(x)=f(y), alors
    • Soit f(x) est rationnel, et alors x et y sont rationnel (sinon f(x) serait irrationnel d'où une contradiction). Donc f(x)=x+1=f(y)=y+1 et donc x=y
    • Soit f(x) est irrationnel, et alors x et y sont irrationnel (sinon f(x) serait rationnel d'où une contradiction). Donc f(x)=x=f(y)=y et donc x=y

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  10. #7
    C.B.

    Re : fonction injective

    Par contre, on a le théorème :

    Une fonction strictement croissante ou strictement décroissante est injective.

    Preuve : Soit f strictement croissante.
    Soit x et y tels que f(x)=f(y).

    Trois cas sont possibles :
    • x<y, donc f(x)<f(y) alors f(x) est différent de f(y) : contradiction
    • x=y
    • x>y, donc f(x)>f(y) alors f(x) est différent de f(y) : contradiction

    Conclusion : x=y.
    Donc tout élément de l'ensemble d'arrivée a au plus un antécédent.
    Donc f est injective.

    Même preuve pour les fonctions strictement décroissantes.

  11. #8
    Brikkhe

    Re : fonction injective

    Mais il n'empeche que la courbe ne doit pas avoir à 2 sens de variations différents, ca doit etre une courbe croissante ou décroissante (et pas forcément continue) si j'ai bien compris.

    Merci za vous!

    A tout à l'heure pour de nouvelles questions :d

    @pluche!

  12. #9
    g_h

    Re : fonction injective

    Citation Envoyé par marcelito
    Mais il n'empeche que la courbe ne doit pas avoir à 2 sens de variations différents, ca doit etre une courbe croissante ou décroissante (et pas forcément continue) si j'ai bien compris.
    Non !
    Pour reprendre un peu mon exemple idiot de tout à l'heure, soit une fonction

    Elle est injective de dans
    Et elle n'est ni croissante, ni décroissante (et pas continue non plus)
    Dernière modification par g_h ; 11/09/2005 à 11h09. Motif: orthographe

  13. #10
    C.B.

    Re : fonction injective

    Pas exacetement :

    Si la fonction est continue : alors elle doit être strictement croissante ou décroissante pour être injective.

    Si la fonction n'est pas continue, elle peut être ni décroissante ni croissante.
    Elle peut aussi être croissante par endroit et décroissante à d'autres endroits.

    Par exemple, la fonction f définie par :
    f(x)=1/x si x<0
    f(x)=x si x=0 ou x>0
    est décroissante sur et croissante sur
    De plus, f est injective.

    Par contre, f n'est pas continue en 0 (elle est par contre continue en tout autre point).

  14. #11
    Romain-des-Bois

    Re : fonction injective

    Moi j'aurais dit : une fonction continue est injective <=> fonction strictement monotone.

    bien sûr il y a un tas de fonctions non continues - non strictement montones qui sont pourtant injectives.

  15. #12
    Brikkhe

    Re : fonction injective

    oui, maintenant je suis d'accord et je suis surtout éclairé à ce sujet...
    Merci encore et @pluche!

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