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montrer f injective <=> f(-1) sujective



  1. #1
    Siamon

    montrer f injective <=> f(-1) sujective


    ------

    Bonjours tout le monde,

    alors voilà l'énnoncé :

    soit f de E dans F et f(-1) de P(F) dans P(E)
    Mq f injective <=> f(-1) sujective

    je sais que c'est un exo basique mais j'y arrive pas snif
    j'ai déjà fait l'implication pour la réciproque j'ai fait :

    Soit {x1,x2} appartenant à E tq f(x1)=f(x2)
    On pose A={x1}, il appartient bien à P(E)
    or f(-1) surjective donc il existe B appartenant à P(F) tq f(-1)(B)=A={x1}
    et là je bloque

    Je dois aussi faire
    f sujective <=> f(-1) injective
    mais je suis arrivé à rien pour l'implication je crois qu'on peut le faire direct avec les ensembles (pas besoin de passer par la double inclusion) mais j'ai pas trouvé

    Merci de m'aider !!!!!!!!

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    homotopie

    Re : montrer f injective <=> f(-1) sujective

    Citation Envoyé par Siamon Voir le message
    Soit {x1,x2} appartenant à E tq f(x1)=f(x2)
    On pose A={x1}, il appartient bien à P(E)
    or f(-1) surjective donc il existe B appartenant à P(F) tq f(-1)(B)=A={x1}
    et là je bloque
    Tu veux aboutir à x2=x1, il suffit de montrer que x2 est dans f-1(B).

    Pour l'implication réciproque, tu as du voir que pour tout A dans P(E) on a A inclu dans f -1(...) (éviter F pour remplacer les ... ) maintenant l'injectivité implique que cette inclusion est en fait une égalité on a bien un antécédent pour A.

    Pour l'autre équivalence :
    f surjective=>
    A1 et A2 ont même image par f-1 implique f(f -1(A1))=f(f -1(A2)), or f est surjective ...
    f -1 injective=>
    Soit x dans F, il faut montrer que f -1({x}) est non vide (cet ensemble vide peut être écrit autrement pour faire fonctionner l'hypothèse).

  4. #3
    Siamon

    Re : montrer f injective <=> f(-1) sujective

    merci beaucoup

  5. #4
    Siamon

    Re : montrer f injective <=> f(-1) sujective

    seulement je n'arrive toujours pas à la dernière réciproque .... j'arrive pas à faire le rapprochement avec l'injectivité de f(-1) et le fait que f(-1)({x}) ne soit pas vide

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    homotopie

    Re : montrer f injective <=> f(-1) sujective

    Citation Envoyé par Siamon Voir le message
    seulement je n'arrive toujours pas à la dernière réciproque .... j'arrive pas à faire le rapprochement avec l'injectivité de f(-1) et le fait que f(-1)({x}) ne soit pas vide
    f-1({x}) est différent de f-1(vide)=vide.

  8. #6
    Siamon

    Re : montrer f injective <=> f(-1) sujective

    c'est vrai que quand on a la réponse c'est évident mais je n'y avais pas du tout pensé .... dans tout les cas merci beaucoup !!!!

  9. Publicité
  10. #7
    Siamon

    Re : montrer f injective <=> f(-1) sujective

    lol j'ai cru comprendre et en fait il y a quelque chose qui me chiffone :

    dites moi ou j'ai faux dans mon raisonnement

    on ne suppose pas f(-1) injective

    soit (y1,y2) appartenant à F tq f(-1)({y1})=f(-1)({y2})
    par définition on a donc {x appartenant à E / f(x)=y1}={x appartenant à E / f(x)=y2}
    on a donc focement y1=y2 sans utiliser f(-1) injective non ? à quoi correspond réellement f(-1) injective ?

    j'y comprend rien avec les f et f(-1) j'aimerais comprendre une bonne fois pour toute

  11. #8
    Namsam

    Re : montrer f injective <=> f(-1) sujective

    Bonsoir,
    Pourquoi les 2 antécédents seraient les mêmes?
    On a en fait
    {x appartenant à E / f(x)=y1}={x' appartenant à E / f(x')=y2}
    Et f-1 injective ca correspond au fait que si f-1(y)=f-1(y') alors y=y', tout simplement (juste que tu raisonnes dans le sens inverse à f)

    Cordialement,
    Namsam
    "Agis comme si ton action devait être érigée en principe universel"

  12. #9
    Médiat

    Re : montrer f injective <=> f(-1) sujective

    Citation Envoyé par Siamon Voir le message
    on ne suppose pas f(-1) injective
    Si f-1 n'est pas injective c'est qu'il existe y1 et y2 des sous-ensembles différents tels que f-1(y1) = f-1(y2), c'est à dire que l'ensemble des avec y1 différent de y2, mais pour que cela arrive il faut or ne peut être tel qu'il existe x tel que f(x) = y (sinon les deux ensembles ne sont pas égaux) et donc f n'est pas surjective. Je ne développe pas proprement pour te laisser réfléchir, et parce qu'il est tard .
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  13. #10
    Siamon

    Re : montrer f injective <=> f(-1) sujective

    Je crois que je commence à comprendre, en faite je ne prenais que des ensembles y1 et y2 à un seul élément chacun.

    En faite il faut que les ensembles y1 et y2 aient une partie commune où ils sont atteint par des x et qu'il n'existe aucun x tq f(x) appartient à y1 ou (exclusif) à y2 ??? si c'est pas ça ... ben j'aurais encore rien compris

  14. #11
    Médiat

    Re : montrer f injective <=> f(-1) sujective

    Citation Envoyé par Siamon Voir le message
    En faite il faut que les ensembles y1 et y2 aient une partie commune où ils sont atteint par des x et qu'il n'existe aucun x tq f(x) appartient à y1 ou (exclusif) à y2 ??? si c'est pas ça ... ben j'aurais encore rien compris
    Et ceci n'est possible que si f n'est pas surjective .
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  15. #12
    chrisjacob

    Re : montrer f injective <=> f(-1) sujective

    This is always turned out to be a tough topic to me. No difference, yet. I am not getting any idea how to fix the injective. Can you explain how you have figured out this? I am really curious to know how you have reached your answer. Thanks in advance.






    Thanks
    JAnE

  16. Publicité
  17. #13
    Seirios

    Re : montrer f injective <=> f(-1) sujective

    In fact, it is quite simple:

    Suppose injective. Then for all , so is surjective. Conversely, suppose surjective and let be such that . By assumption, there exists so that . Notice that is equivalent to , so implies , hence . Therefore, is injective.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

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