montrer f injective <=> f(-1) sujective

[invite846dbd5a]

Bonjours tout le monde,

alors voilà l'énnoncé :

soit f de E dans F et f(-1) de P(F) dans P(E)
Mq f injective <=> f(-1) sujective

je sais que c'est un exo basique mais j'y arrive pas snif
j'ai déjà fait l'implication pour la réciproque j'ai fait :

Soit {x1,x2} appartenant à E tq f(x1)=f(x2)
On pose A={x1}, il appartient bien à P(E)
or f(-1) surjective donc il existe B appartenant à P(F) tq f(-1)(B)=A={x1}
et là je bloque

Je dois aussi faire
f sujective <=> f(-1) injective
mais je suis arrivé à rien pour l'implication je crois qu'on peut le faire direct avec les ensembles (pas besoin de passer par la double inclusion) mais j'ai pas trouvé

Merci de m'aider !!!!!!!!
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[invite35452583]

Soit {x1,x2} appartenant à E tq f(x1)=f(x2)
On pose A={x1}, il appartient bien à P(E)
or f(-1) surjective donc il existe B appartenant à P(F) tq f(-1)(B)=A={x1}
et là je bloque

Tu veux aboutir à x2=x1, il suffit de montrer que x2 est dans f^-1(B).

Pour l'implication réciproque, tu as du voir que pour tout A dans P(E) on a A inclu dans f ^-1(...) (éviter F pour remplacer les ... ) maintenant l'injectivité implique que cette inclusion est en fait une égalité on a bien un antécédent pour A.

Pour l'autre équivalence :
f surjective=>
A₁ et A₂ ont même image par f^-1 implique f(f ^-1(A₁))=f(f ^-1(A₂)), or f est surjective ...
f ^-1 injective=>
Soit x dans F, il faut montrer que f ^-1({x}) est non vide (cet ensemble vide peut être écrit autrement pour faire fonctionner l'hypothèse).

[invite846dbd5a]

merci beaucoup

[invite846dbd5a]

seulement je n'arrive toujours pas à la dernière réciproque .... j'arrive pas à faire le rapprochement avec l'injectivité de f(-1) et le fait que f(-1)({x}) ne soit pas vide

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

seulement je n'arrive toujours pas à la dernière réciproque .... j'arrive pas à faire le rapprochement avec l'injectivité de f(-1) et le fait que f(-1)({x}) ne soit pas vide

f^-1({x}) est différent de f^-1(vide)=vide.

[invite846dbd5a]

c'est vrai que quand on a la réponse c'est évident mais je n'y avais pas du tout pensé .... dans tout les cas merci beaucoup !!!!

[invite846dbd5a]

lol j'ai cru comprendre et en fait il y a quelque chose qui me chiffone :

dites moi ou j'ai faux dans mon raisonnement

on ne suppose pas f(-1) injective

soit (y1,y2) appartenant à F tq f(-1)({y1})=f(-1)({y2})
par définition on a donc {x appartenant à E / f(x)=y1}={x appartenant à E / f(x)=y2}
on a donc focement y1=y2 sans utiliser f(-1) injective non ? à quoi correspond réellement f(-1) injective ?

j'y comprend rien avec les f et f(-1) j'aimerais comprendre une bonne fois pour toute

[invite3a8c0277]

Bonsoir,
Pourquoi les 2 antécédents seraient les mêmes?
On a en fait
{x appartenant à E / f(x)=y1}={x' appartenant à E / f(x')=y2}
Et f-1 injective ca correspond au fait que si f-1(y)=f-1(y') alors y=y', tout simplement (juste que tu raisonnes dans le sens inverse à f)

Cordialement,
Namsam

[Médiat]

on ne suppose pas f(-1) injective

Si f^-1 n'est pas injective c'est qu'il existe y1 et y2 des sous-ensembles différents tels que f^-1(y1) = f^-1(y2), c'est à dire que l'ensemble des avec y1 différent de y2, mais pour que cela arrive il faut or ne peut être tel qu'il existe x tel que f(x) = y (sinon les deux ensembles ne sont pas égaux) et donc f n'est pas surjective. Je ne développe pas proprement pour te laisser réfléchir, et parce qu'il est tard .

[invite846dbd5a]

Je crois que je commence à comprendre, en faite je ne prenais que des ensembles y1 et y2 à un seul élément chacun.

En faite il faut que les ensembles y1 et y2 aient une partie commune où ils sont atteint par des x et qu'il n'existe aucun x tq f(x) appartient à y1 ou (exclusif) à y2 ??? si c'est pas ça ... ben j'aurais encore rien compris

[Médiat]

En faite il faut que les ensembles y1 et y2 aient une partie commune où ils sont atteint par des x et qu'il n'existe aucun x tq f(x) appartient à y1 ou (exclusif) à y2 ??? si c'est pas ça ... ben j'aurais encore rien compris

Et ceci n'est possible que si f n'est pas surjective .

[invitef34c1905]

This is always turned out to be a tough topic to me. No difference, yet. I am not getting any idea how to fix the injective. Can you explain how you have figured out this? I am really curious to know how you have reached your answer. Thanks in advance.






Thanks
JAnE

[Seirios]

In fact, it is quite simple:

Suppose injective. Then for all , so is surjective. Conversely, suppose surjective and let be such that . By assumption, there exists so that . Notice that is equivalent to , so implies , hence . Therefore, is injective.