Démonstration Catalan

**JamelG** · 03/04/2014, 13h46

Bonjour, je voudrais partager avec vous dans ce forum une démonstration élémentaire du théorème de Catalan :
Soit l'équation :
$\text{[math]}$
J'ai
$\text{[math]}$
Soit
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Et
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Je pose
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
J'en déduis
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Et
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
K entier signifie K=1 et $\text{[math]}$ sinon, j'ai K' tel que K'K=1 et $\text{[math]}$ entier
$\text{[math]}$
PGCD(X,Y)=1, Je suppose les expressions entre les parenthèses differentes de zéro, j'étudierai le cas où elles sont nulles : premier cas
$\text{[math]}$
Et
$\text{[math]}$
Ou, deuxième cas
$\text{[math]}$
Et
$\text{[math]}$
Avec toujours K'' (qui n'est pas le même dans les deux cas, entier). Premier cas
$\text{[math]}$
Et
$\text{[math]}$
Ainsi
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
J'en déduis
$\text{[math]}$
En conséquence
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Soit
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Et K'' entier, j'en déduis K''=1 et q-3=p-2=0. Deuxième cas :
$\text{[math]}$
Et
$\text{[math]}$
Si je multiplie ces expressions
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Or $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Ou
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Ou
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Soit encore
$\text{[math]}$
Ou
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Ce qui veut dire que w=1 et
$\text{[math]}$
Et
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Impossible, positif d'un côté, négatif de l'autre : l'hypothèse initiale est alors fausse :
$\text{[math]}$
Ou $\text{[math]}$ soit p-2=q-3=0
Seule solution dans tous les cas : p=2 et q=3.
Et $\text{[math]}$ qu'Euler a résolue : solution : $\text{[math]}$ .

**acx01b** · 03/04/2014, 13h53

juste pour dire que c'est difficile de suivre ta démo, tu as des mots pour expliquer la suite logique (par exemple quel est le rôle de $\text{[math]}$ ?)

tu connais la démo à laquelle il est fait allusion sur http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Catalan ?

et surtout tu devrais en parler sur http://math.stackexchange.com/questi.../number-theory
http://math.stackexchange.com/questi...-number-theory

**acx01b** · 03/04/2014, 14h08

Envoyé par JamelG

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

? Ce n'est donc pas du tout un entier ?

**God's Breath** · 03/04/2014, 14h11

Envoyé par JamelG

Je pose
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Au vu de la définition de $\text{[math]}$ , il n'y a aucune raison pour que ce soit un entier

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**JamelG** · 03/04/2014, 15h04

Si K est un entier (il faut enviosager tous les cas), alors $\text{[math]}$ , sinon, c'est $\text{[math]}$ qui l'est et je poursuis mon raisonnement !

**God's Breath** · 03/04/2014, 22h20

Je reprends du début : quelle est la définition de $\text{[math]}$ ?

**JamelG** · 04/04/2014, 08h30

J'ai : $\text{[math]}$ où u et v sont des expressions compliquées comme X et Y sont premiers entre eux, j'ai soit $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ soit $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ Avec K et K' des entiers !

**JamelG** · 06/04/2014, 21h16

Bonjour, j'ai simplifié au maximum la preuve : Ainsi, il y a deux cas : Premier cas
$\text{[math]}$
Et
$\text{[math]}$
Ou, deuxième cas
$\text{[math]}$
Et
$\text{[math]}$
Avec K'' entier integer, donc : premier cas
$\text{[math]}$
Alors
$\text{[math]}$
Ainsi K''=1 et $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Et
$\text{[math]}$
Si
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Et $\text{[math]}$ , et si
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Ainsi
$\text{[math]}$
Et
$\text{[math]}$
Donc
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Si $\text{[math]}$ alors Y=2 et si $\text{[math]}$ alors X=2 : impossible ! J'en déduis p-2=q-3=0.

**acx01b** · 07/04/2014, 19h41

X,Y,q,p entiers
Y^p = X^q + 1
donc pgcd(X,Y)=1

je suppose qu'on a aussi q >= 3 et p >= 2 ?

Envoyé par JamelG

J'ai : $\text{[math]}$

donc u/v est bien défini, c'est un rationnel : X^{q-3}/Y^{p-2} qui est une fraction irréductible

si tu supposes que u et v sont entiers alors u=X^{q-3} et v=Y^{p-2}

Envoyé par JamelG

$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

donc K= K' = 1 ???

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