Démonstration Catalan

[invite82b2fce3]

Bonjour, je voudrais partager avec vous dans ce forum une démonstration élémentaire du théorème de Catalan :
Soit l'équation :

J'ai

Soit



Et


Je pose


J'en déduis


Et




K entier signifie K=1 et sinon, j'ai K' tel que K'K=1 et entier

PGCD(X,Y)=1, Je suppose les expressions entre les parenthèses differentes de zéro, j'étudierai le cas où elles sont nulles : premier cas

Et

Ou, deuxième cas

Et

Avec toujours K'' (qui n'est pas le même dans les deux cas, entier). Premier cas

Et

Ainsi


J'en déduis

En conséquence



Soit



Et K'' entier, j'en déduis K''=1 et q-3=p-2=0. Deuxième cas :

Et

Si je multiplie ces expressions


Or

Ou


Ou


Soit encore

Ou





Ce qui veut dire que w=1 et

Et



Impossible, positif d'un côté, négatif de l'autre : l'hypothèse initiale est alors fausse :

Ou soit p-2=q-3=0
Seule solution dans tous les cas : p=2 et q=3.
Et qu'Euler a résolue : solution : .
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[acx01b]

juste pour dire que c'est difficile de suivre ta démo, tu as des mots pour expliquer la suite logique (par exemple quel est le rôle de ?)

tu connais la démo à laquelle il est fait allusion sur http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Catalan ?

et surtout tu devrais en parler sur http://math.stackexchange.com/questi.../number-theory
http://math.stackexchange.com/questi...-number-theory

[acx01b]

? Ce n'est donc pas du tout un entier ?

[invite57a1e779]

Je pose

Au vu de la définition de , il n'y a aucune raison pour que ce soit un entier

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite82b2fce3]

Si K est un entier (il faut enviosager tous les cas), alors , sinon, c'est qui l'est et je poursuis mon raisonnement !

[invite57a1e779]

Je reprends du début : quelle est la définition de ?

[invite82b2fce3]

J'ai : où u et v sont des expressions compliquées comme X et Y sont premiers entre eux, j'ai soit et soit et Avec K et K' des entiers !

[invite82b2fce3]

Bonjour, j'ai simplifié au maximum la preuve : Ainsi, il y a deux cas : Premier cas

Et

Ou, deuxième cas

Et

Avec K'' entier integer, donc : premier cas

Alors

Ainsi K''=1 et


Et

Si



Et , et si



Ainsi

Et

Donc







Si alors Y=2 et si alors X=2 : impossible ! J'en déduis p-2=q-3=0.

[acx01b]

X,Y,q,p entiers
Y^p = X^q + 1
donc pgcd(X,Y)=1

je suppose qu'on a aussi q >= 3 et p >= 2 ?

J'ai :

donc u/v est bien défini, c'est un rationnel : X^{q-3}/Y^{p-2} qui est une fraction irréductible

si tu supposes que u et v sont entiers alors u=X^{q-3} et v=Y^{p-2}

et
et

donc K= K' = 1 ???