Nombres de Catalan

[invite2c7e7498]

Bonjour,

je bloque sur un exercice portant sur les "nombres de Catalan", présentés comme les façons de parenthéser un ensemble à n éléments.





Je n'ai fait que la 2ème question car les autres me posent problème...j'ai trouvé comme développement limité de f en 0:

f(x)=1/2*(2x+2x²+4x^3+...+[(1*3*...*(2n-3))/(2*4*...*(2n))]*(4x)^n + o(x^n).

J'ai aussi trouvé la relation entre f² et f: j'obtiens f(x)²=f(x)-2x, mais ça s'arrête là...

Pourriez-vous m'aider svp?
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[Sylvestre]

Salut,

Pour la première question, il faut raisonner par récurrence :
Un parenthésage d'ordre n+1 peut se décomposer en un premier groupe de parenthéses d'ordre k suivi du reste du parenthésage qui est d'ordre n-k.

Exemple : (()())()((())) est d'ordre 7. Il se décompose en
( ()() ) qui est le premier groupe. Ce groupe est constitué de ()() qui est d'ordre 2.
Le reste est ()((())) qui est d'ordre 4.

Ceci devrait t'aider à trouver la relation

Pour la troisième question, il me semble que la donnée est fausse car la fonction devrait être (sauf erreur):

Il est donc normal que tu n'arrives pas à conclure.