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Théorème du coup de couteau dans la patate :



  1. #1
    minutepapillon

    Smile Théorème du coup de couteau dans la patate :


    ------



    Salut à tous,
    Je ne fais plus de math depuis longtemps mais j'ai besoin d'une info. Pardonnez la formulation maladroite

    Théorème du coup de couteau dans la patate :

    Dans R²...

    ... on se donne A un sous ensemble d'intérieure non vide et simplement connexe de R². Et Phi, une courbe de [0,1] dans A telle que phi(0) et Phi(1) sont dans la frontière de A et Phi([0,1]) inter intérieur de A est non vide.

    On peut en conclure que A / Phi([0,1]) possède au moins deux composantes connexes.

    Est-ce vrai ?
    Ce théorème" a t il un nom - autre que celui que je lui ai attribué ?
    Connaissez vous une référence que je puisse citer...

    C'est pour un texte à vocation scientifico-humoro politique ... et oui ...

    merci d'avance

    Nicolas Guionnet

    -----

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  3. #2
    GuYem

    Re : Théorème du coup de couteau dans la patate :

    Salut, à première vue, si la courbe est continue, ça a l'air vrai.

    Jamais vu ce théorème, donc pas de nom à te proposer.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  4. #3
    Bobby
    Invité

    Re : Théorème du coup de couteau dans la patate :

    Il me semble qu'un théorème de Jordan en analyse complexe affirme ceci : un lacet sépare le plan en deux composantes connexes. La configuration est différente dans ton cas mais il permet d'y répondre en considérant le nouveau lacet formé de ta courbe Phi et de la frontière d'un seul côté de celle-ci.

    PS. Conaissiez-vous dans le même genre le théorème du sandwich au jambon ? http://www.bibmath.net/dico/index.ph...haujambon.html

  5. #4
    rvz

    Re : Théorème du coup de couteau dans la patate :

    Salut,

    Bon, je pense qu'on est tous d'accord, ça a l'air vrai. Pour pinailler un peu, je rappelle qu'un ensemble qui est simplement connexe est par définition ouvert, au moins selon Rudin. Donc, je suggère de se restreindre à A ouvert...
    Sinon, je crois aussi que ça doit pouvoir se démontrer à coup d'index topologique. Le problème, c'est que quand tu prolonges ta courbe en prenant le bord, quand l'ouvert n'est rien d'autre qu'un ouvert, le chemin peut devenir très moche : Je ne sais même pas s'il est forcément continu :S Et là, je ne sais pas si le théorème de Jordan est vrai...

    Cela dit, on peut quand même s'inspirer de l'argument et essayer de proposer un chemin continu qui n'entoure qu'une des deux composantes connexes. Mais je sais pas si ça peut se trouver facilement non plus.

    Si homotopie lit ces quelques lignes, je suis sûr qu'il pourrait nous être fort utile. D'ailleurs, je ne connais pas de référence sur l'index topologique, à part la définition donnée dans les bouquins d'exo du Chambert Loir, qui ne sont quand même pas très détaillés. (Les mauvaises langues rajouteront que de toutes façons, ces bouquins sont plein de fautes )

    Evidemment on peut résoudre le problème en supposant que A est une sous variété à bord de R^2 tel que le bord est un chemin continu, ce qui doit juste revenir à dire que A est une sous variété de classe C°, non ? Un fderwelt ou autres Martini, Doudache, etc pourrait certainement éclairer ça.

    __
    rvz, juste pour dire

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    minutepapillon

    Re : Théorème du coup de couteau dans la patate :

    interessant ...

    ...la frontière d'un sous ensemble d'intérieure non vide et simplement connexe de R² est-elle toujours assimilable à une courbe continue ?
    ...eh non bien sûr...
    humm ..ma question est mal posée... essayons encore...

    ... à un sous ensemble d'intérieure non vide et simplement connexe de R² peut-on toujours associer une courbe continue (contenue dans sa frontière) tel que...
    ..." le nouveau lacet formé de ta courbe Phi et de la frontière d'un seul côté de celle-ci" ... constitue le lacet désiré ...

  8. #6
    minutepapillon

    Re : Théorème du coup de couteau dans la patate :

    ... pardon mon message 5 est en réponse au 3 de Bobby ... et ne tient pas compte de la réponse de rvz...

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  10. #7
    minutepapillon

    Re : Théorème du coup de couteau dans la patate :

    ... ce qui m'étonne c'est qu'une chose aussi intuitive n'est pas d'existence académique : un joli nom de théorème et pignon sur rue ...

    bon rvz, je te suis et considérons A ouvert... mais je ne connais pas bien les propriétés de la frontière d'un ouvert général ...

    Si on suppose que c'est une Cn variété à bord ... bon... la frontière est alors un chemin continu (et cn non ?)
    et ...
    Mon Dien c'est loin tout cela...

  11. #8
    invite986312212
    Invité

    Re : Théorème du coup de couteau dans la patate :

    j'ai l'impression que c'est vrai même si la frontière de A est mal foutue (fractale par exemple). La courbe coupe l'intérieur de A, donc elle coupe un disque ouvert inclus dans A, donc sa fermeture, qui est incluse dans la fermeture de A. On peut même je pense prendre un disque strictement inclus dans le premier, de sorte que le disque fermé soit inclus dans A. Maintenant, on peut appliquer le théorème de Jordan en prenant comme courbe fermée l'intersection de la courbe donnée avec ce disque, plus un des segments de cercle. On a un lacet inclus dans A, son complémentaire (dans le plan) est formé de deux composantes connexes. Chacune d'elles contient des points de A. Pour celle contenant l'autre segment de cercle c'est évident, pour l'autre, je pense qu'on peut le montrer par l'absurde car si elle était vide ça contredirait la simple connexité de A (à voir...)

  12. #9
    invite986312212
    Invité

    Re : Théorème du coup de couteau dans la patate :

    en y repensant, je trouve que ce n'est pas si simple: la frontière de A peut être irrégulière, mais la courbe aussi. qu'est-ce qui dit qu'elle n'entre et ne sort pas plusieurs fois de chaque disque inclus dans A?
    Ca doit bien marcher pour un A convexe (patate) et une courbe différentiable (coup de couteau).

  13. #10
    rvz

    Re : Théorème du coup de couteau dans la patate :

    Bon, je dois admettre que je ne comprends pas bien ton précédent post, mais si ça te permet d'arriver à une conclusion similaire à la mienne, c'est toujours ça

    Donc, la seule vraie question dorénavant, c'est une question de régularité : Est-il nécessaire de supposer des choses sur la régularité de la courbe ? de l'ouvert ?
    D'ailleurs, je me demande si A ouvert convexe en 2d n'implique pas que A est une sous variété de R^2 de régularité lipschitz ?

    Je ne connais qu'un seul vrai spécialiste de ce genre de choses, mais je n'arrive pas à le joindre. Il a du partir en vacances.

    Dis moi MinutePapillon, tu as vraiment besoin d'un résultat optimal ? Ou l'un de ceux sus mentionnés suffit à ton bonheur ?

    J'en profite pour dire que la construction d'un contre exemple à la propriété que tu indiques pour un ouvert peu régulier m'intéresserait fort.
    __
    rvz, qui ne fait toujours pas avancer le schmilblick
    Dernière modification par rvz ; 27/07/2006 à 15h09.

  14. #11
    invite986312212
    Invité

    Re : Théorème du coup de couteau dans la patate :

    Citation Envoyé par rvz
    Bon, je dois admettre que je ne comprends pas bien ton précédent post, mais si ça te permet d'arriver à une conclusion similaire à la mienne, c'est toujours ça
    en effet mon post n'apporte rien.

    Comme contre-exemple avec A régulier (le carré [0,1]x[0,1]) on peut prendre la courbe de Peano, je crois que ses extrémités sont sur la frontière (pas sûr). Son complémentaire est vide et donc n'a qu'une composante connexe.

  15. #12
    minutepapillon

    Re : Théorème du coup de couteau dans la patate :

    ... si j'ai besoin d'un résultat optimal ?... ma foi... je suis déjà bien content d'avoir un coup de main (merci !!)... je ne vais pas en plus avoir des exigences
    L'idéal serait une présentation élégante et sans perte flagrante de généralité... et une référence ... mais là j'en demande peut-être beaucoup ...

    est ce que je dis une betise en supposant que le problème est résolu si A est la boule unité et que maintenant il s'agit de transporter le résultat par homéomorphisme ? (en perdant peut-être un peu de généralité car le résultat est peut-être valide même si l'homéomorphisme n'existe pas ...)


    Tiens d'ailleurs, à quelle conditions un ouvert simplement connexe est-il homéomorphe à la boule unité ?

    ah oui mais on a besoin aussi que la frontière se comporte bien ...donc

    ...à quelle conditions la fermeture d'un ouvert simplement connexe est-elle homéomorphe à la boule unité fermée ?

    Il faut aussi penser à gérer le fait que la courbe peut rentrer et sortir plusieurs fois (une infinité ? est-ce possible ?) nous aurions ainsi une infinité de composantes connexes ? ... la compacité de la courbe doit limiter ce genre d'hipothèse ...

    oulala ...

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  17. #13
    invite986312212
    Invité

    Re : Théorème du coup de couteau dans la patate :

    Citation Envoyé par minutepapillon
    Tiens d'ailleurs, à quelle conditions un ouvert simplement connexe est-il homéomorphe à la boule unité ?
    en dimension 2 je crois que c'est toujours vrai.
    En dimension 3 c'est pas ce qu'on appelle conjecture de Poincaré?

  18. #14
    minutepapillon

    Re : Théorème du coup de couteau dans la patate :

    ... et oui ... Péano ...

    J'ai vérifié, les extrémités sont sur la frontière ... mais il semble qu'elle ait une infinité de points multiples (d'apres de dico des maths de F le Lyonnais) ... peut être qu'en supposant la courbe sans point multiple...

    La question est donc comment formuler rigoureusement l'idée intuitive que contenait mon théorème initiale d'ailleurs faux

    ... et cela avec une généralité ... honorable ...

  19. #15
    invite986312212
    Invité

    Re : Théorème du coup de couteau dans la patate :

    Citation Envoyé par ambrosio
    En dimension 3 c'est pas ce qu'on appelle conjecture de Poincaré?
    et non, Poincaré c'est pas ça, honte à moi.

  20. #16
    minutepapillon

    Re : Théorème du coup de couteau dans la patate :

    Péano ?

    La courbe de Péano n'est pas injective (points multiples).

    Si l'on suppose que Phi est injective (ce qui est cohérent avec le théorème de Jordane qui s'applique aux "courbes de Jordan" qui son par définitions injectives) ... cela devrait pouvoir fonctionner ...

    J'attends vos avis, corrections, suggestions ...


  21. #17
    minutepapillon

    Re : Théorème du coup de couteau dans la patate :

    Voilà donc la nouvelle version avec injectivité en plus ...:

    Théorème du coup de couteau dans la patate :

    Dans R²...

    ... on se donne A un sous ensemble d'intérieure non vide et simplement connexe de R². Et Phi, une courbe injective de [0,1] dans A telle que phi(0) et Phi(1) sont dans la frontière de A et Phi([0,1]) inter intérieur de A est non vide.

    On peut en conclure que A / Phi([0,1]) possède au moins deux composantes connexes.


    Alors ? Vrai ?

  22. #18
    homotopie

    Re : Théorème du coup de couteau dans la patate :

    Citation Envoyé par minutepapillon
    Voilà donc la nouvelle version avec injectivité en plus ...:

    Théorème du coup de couteau dans la patate :

    Dans R²...

    ... on se donne A un sous ensemble d'intérieure non vide et simplement connexe de R². Et Phi, une courbe injective de [0,1] dans A telle que phi(0) et Phi(1) sont dans la frontière de A et Phi([0,1]) inter intérieur de A est non vide.

    On peut en conclure que A / Phi([0,1]) possède au moins deux composantes connexes.


    Alors ? Vrai ?
    Salut,
    écrit ainsi : non
    Contre-exemple :
    l'espace formé ainsi :
    graphe G de sin(1/x) de 0 (exclu) jusque x=1
    segment I rejoignant (0;-1) à (0;1)
    Du point G d'abscisse 1 on trace un chemin "à droite" jusqu'à un disque placé plus bas en arrivant par la droite
    De O (et donc de I) on trace un chemin à gauche vers ce même disque.
    C'est connexe par arcs, simplement connexe (si si)
    Maintenant on coupe verticalement le disque.
    Composante connexe après excision : 1
    Mais composantes connexes par arcs : 2

    Le théorème demande :
    1) qu'on vire la pathologie "à la Peano"
    2) le résultat s'applique aux composantes connexes par arcs

    Esquisse de preuve :
    on se place en un point du chemin situé à l'intérieur de A. On prend la composante connexe de ce chemin et de l'intérieur de A contenant ce premier point. Les extrémités ne sont pas à l'intérieur (conséquence de l'hyp. extrémités sur les bords)
    On trace un couloir propre : ouvert 1-connexe autour de ce bout de chemin (un peu technique mais pas très difficile, c'est ce qui permet de se libérer d'hypothèses de "propreté"). On applique le th. de Jordan : il ya deux côtés. Si on peut relier ces deux côtés par un chemin (hyp. absurde : A privé du chemin connexe par arcs), on entoure une des deux extrémités. Or ce chemin est homotope au lacet trivial (A simplement connexe) ce qui implique que l'extrémité est à l'intérieur de A, contradiction et fin de la "preuve" (les détails laissés au lecteur, pardon aux familles ...toussa).

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  24. #19
    minutepapillon

    Re : Théorème du coup de couteau dans la patate :

    Merci pour cette pertinente intervention...

    A propos, Rvz suggérait de se restreindre à un A ouvert (les ensembles simplement connexe seraient par définitions ouverts ?)

    Cela pourrait réduire les pathologies sévères comme celles du sinus du topologue ...

    Exiger que Phi soit injective exclut Péano (points multiples mêmes si les coubes approchantes sont injectives)

    donc on pourrait avoir une nouvelle version du théorême :

    "... on se donne A un sous ensemble OUVERT et simplement connexe de R². Et Phi, une courbe INJECTIVE de [0,1] dans A telle que phi(0) et Phi(1) sont dans la frontière de A et Phi([0,1]) inter intérieur de A est non vide.

    On peut en conclure que A / Phi([0,1]) possède au moins deux composantes connexes."

    Cela peut peut être rendre le résultat vrai pour les composantes connexes (tout court)...

    Sinon ... les composantes par arcs sont déjà trés satisfaisantes ...

    merci donc

    je vais regarder la dmo en détail ...
    a+
    Nicolas

  25. #20
    homotopie

    Re : Théorème du coup de couteau dans la patate :

    Citation Envoyé par minutepapillon
    donc on pourrait avoir une nouvelle version du théorême :

    "... on se donne A un sous ensemble OUVERT et simplement connexe de R². Et Phi, une courbe INJECTIVE de [0,1] dans A telle que phi(0) et Phi(1) sont dans la frontière de A et Phi([0,1]) inter intérieur de A est non vide.

    On peut en conclure que A / Phi([0,1]) possède au moins deux composantes connexes."

    Cela peut peut être rendre le résultat vrai pour les composantes connexes (tout court)...
    Certes mais le résultat s'en déduit très vite, en effet si A est un ouvert, il en est de même de A'="A privé du chemin" car cette image est compacte donc fermée et A' est ouvert. Or pour un ouvert dans R² (qui est localement connexe par arcs), on a :
    connexité <=> connexité par arcs
    Sur cet aspect, on est dans le cas le plus général aussi bien en hypothèse qu'en conclusion.

    On peut réduire l'hypothèse sur en quelque chose du type : les points simples forment un ouvert non vide de [0,1]. Quand le chemin forme une boucle soit cette boucle sépare l'espace A et c'est fini, soit elle ne sépare pas (A entièrement à l'intérieur ou à l'extérieur) et elle est "inutile" : on peut reprendre la démo en retirant cette partie. Les segments stationnaires spnt eux aussi inutiles et ne gènent guère la démo.

    EDIT : je crois que rvz voulait un domaine sur lequel on puisse "travailler" mais en fait il est inutile de l'ajouter en hypothèses : le couloir autour du dout de chemin y pourvoie.
    Dernière modification par homotopie ; 01/08/2006 à 12h59.

  26. #21
    invite986312212
    Invité

    Re : Théorème du coup de couteau dans la patate :

    et si on laisse tomber le simplement connexe et qu'on dit que les deux bouts de la courbe doivent être dans la même composante connexe de la frontière, ça marche encore?

  27. #22
    homotopie

    Re : Théorème du coup de couteau dans la patate :

    Citation Envoyé par ambrosio
    et si on laisse tomber le simplement connexe et qu'on dit que les deux bouts de la courbe doivent être dans la même composante connexe de la frontière, ça marche encore?
    Si on suppose que A est une variété à bord (c'est pas bien méchant dans R²), ça marche très bien il me semble.
    Sinon, contre-exemple :
    un disque dont deux points sont reliés extérieurement par un chemin.
    On coupe le disque en laissant de "chaque côté" un point, en partant et en démarrant du cercle frontière.
    On démarre et on finit bien sur la frontière qui est, ici, connexe mais après excision, il n'y a toujours qu'une seule composante connexe (qui l'est par arcs)

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