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Deriver et quart de tour



  1. #1
    Daniel Certy

    Deriver et quart de tour


    ------

    Bonjour.
    j'ai un petit problème
    J'ai repris mon cours de sur les fonctions de référence en maths sup. Le prof prend la fonction f(x)= exp(ix). Il dérive et écrit :
    f'(x)= i exp(ix)
    et donc sin'(x)= sin(x+ pi/2)= cos(x) et cos'(x)= cos(x+pi/2)=-sin(x).
    Et il écrit ensuite que dériver les fonctions x → sin(x), x → cos(x) ou x → exp(ix) revient à effectuer un quart de tour direct et inversement
    fournir une primitive de chacune de ces fonctions revient à effectuer un quart de tour indirect.
    Là je suis d'accord mais le professeur de ma soeur qui est en terminale lui marque le contraire dans son cours comme moyen mnémotechnique pour retrouver les formules pour dériver ou intégrer des fonctions trigo :
    Voici une image de son cours :
    Nom : img maths 2.jpg
Affichages : 84
Taille : 143,6 Ko

    Je ne vois pas où est l'erreur et qui se trompe sur le sens du tour à effectuer pour dériver.
    Merci pour votre aide.
    Daniel

    -----

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  3. #2
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Deriver et quart de tour

    Bonjour.

    Aucun des deux ne se trompe !! Ce ne sont pas les mêmes quarts de tour dont il est question. Dans l'astuce du Daron, c'est simplement un moyen mnémotechnique de se souvenir (pas très utile, se souvenir que sin'=cos suffit à la fois pour les dérivées et les primitives - je m'en suis contenté dans mes études de maths de la première au master2). Tu remarqueras que sin x et cos x ne sont que des étiquettes sur les axes. Une fois x placé, ils sont tous les deux sur les axes. Dans ton cas, on parle de +pi/2; mais pour passer de x+pi/2 dont on a le sinus à x dont on a le cosinus, quel quart de tour fais-tu ? Donc c'est bien la même idée.

    Cordialement.

  4. #3
    obi76
    Modérateur*

    Re : Deriver et quart de tour

    Bonjour,

    La dérivée de exp(ix) c'est i.exp(ix) = exp(i pi/2).exp(ix) = exp(i(x+pi/2)). Donc on tourne dans le sens trigonométrique de pi/2.
    La primitive de exp(ix) c'est exp(ix) / i = exp(ix) / exp(i pi/2) = exp(ix).exp(- i pi/2) = exp(i(x-pi/2)). Donc on tourne dans le sens antitrigonométrique de pi/2.

    Sauf erreur, je trouve donc l'inverse du bouquin (avec la convention usuelle de l'angle qui va croissant dans le sens inverse des aiguilles d'une montre)...
    Dernière modification par obi76 ; 04/05/2021 à 20h25.
    Paradoxalement, ce sont les débats stériles qui se reproduisent le plus.

  5. #4
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Deriver et quart de tour

    Le dessin ne correspond pas à une idée mathématique, seulement à un moyen de se souvenir. Un peu délicat ensuite, car il va falloir désapprendre !!

    Cordialement

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    obi76
    Modérateur*

    Re : Deriver et quart de tour

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Le dessin ne correspond pas à une idée mathématique, seulement à un moyen de se souvenir. Un peu délicat ensuite, car il va falloir désapprendre !!
    Tout à fait, du coup il eût été plus malin de faire une figure avec le "bon" sens de rotation (avec le Daron en haut et le Papa en bas)...
    Dernière modification par obi76 ; 04/05/2021 à 20h41.
    Paradoxalement, ce sont les débats stériles qui se reproduisent le plus.

  8. #6
    jacknicklaus

    Re : Deriver et quart de tour

    Franchement, je vois pas l'intérêt de ce moyen "mnémotechnique" bien compliqué. Pour ma part, je préfère visualiser les graphes de sin(x) et cos(x) autour de 0, et me rappeler ainsi que cosx commence à décroitre peu après 0 (donc dérivée - sin(x) pour être négative) et que sin(x) croît en 0 (donc dérivée + cos(x) pour être positive)
    Dernière modification par jacknicklaus ; 04/05/2021 à 22h01.
    There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.

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  10. #7
    Daniel Certy

    Re : Deriver et quart de tour

    Merci. Je me disais bien qu'il y avait un truc étrange.

  11. #8
    albanxiii
    Modérateur

    Re : Deriver et quart de tour

    Citation Envoyé par jacknicklaus Voir le message
    Franchement, je vois pas l'intérêt de ce moyen "mnémotechnique" bien compliqué.
    En 1ère et Tle E, mon prof de tout ce qui était électronique et informatique nous avait dit "le sinus est sympa, quand on le dérive il ne change pas le signe". J'ai gardé ça jusqu'à maintenant.
    Not only is it not right, it's not even wrong!

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