Soit (E, .) un ensemble muni d'une LCI associative (vous pouvez ajouter des propriétés à votre convenance), on fabrique une partition de E en au moins 3 parties qui sont toutes sauf éventuellement une, des groupes.
Le but n'est pas forcément de trouver un exemple précis (ce qui serait très bien) mais d'apporter des idées permettant d'en dire plus.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
J'ai un 1er "réflexe" : si (E, .) est un groupe, si 2 parties sont des (sous-)groupes alors la 3ème aussi ?
Bonsoir Médiat.
Je ne suis pas sûr de bien comprendre la question.
Tout d'abord E doit avoir au moins trois éléments pour obtenir au moins une partition en trois parties.
Pour la suite je suppose que tu demandes des conditions sur la loi, et que l'on peut fabriquer une nouvelle loi à partir de celle donnée.
Par exemple je prends (E, .) =(Z/3Z, + ) et je défini la loi * par x*y=(x+x)+(y+y).
Alors ({0}, +) ainsi que ({1}, *) et ({2}, *) sont des groupes.
Est-ce que tu demandes ?
Si c'est bien le cas il y a des lois associatives qui ne le permettent pas, par exemple les lois constantes.
À Merlin95.
Si (E, .) est un groupe et que (A, .) est un sous-groupe les deux autres parties ne peuvent pas être des sous-groupes car elles ne contiennent pas l'élément neutre.
Bonsoir,
Je précise que la loi sur les parties constituant la partition, est la même que sur, Si les
Je ne dis pas que cela marche pour tous les
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Un exemple.
On considère deux groupes disjoints (A,&) et (B, @) et on prend leur union avec un ensemble à un élément {%} tel que % n'est ni dans A ni dans B.
On défini la loi . sur E=AUBU{%} par
quelque soit (x, y) dans A2 x.y=x&y
quelque soit (x, y) dans B2 x.y=x@y
quelque soit (x, y) dans AxB x.y=y.x=%
quelque soit x dans E x.%=%.x=%
Il est facile de voir que cette loi est associative et que (A, .) ainsi que (B, .) sont des groupes.
Effectivement cela à l'air de marcher, mais l'idée était plutôt d'aller dans l'autre sens, et si j'ajoute que E possède un élément neutre, cela ne marche plus
Je suis Charlie.
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Un exemple où (E, .) a un élément neutre :
on prend deux objets distincts a et b qui ne sont pas des entiers naturels.
On considère E=NU{a,b} et la loi . définie par
quelque soit n dans N n.a=a.n=a et b.n=n.b=b
a.b=b.a=0
a.a=a
b.b=b
et quelques soient m et n dans N m.n=m+n.
Sauf erreur vraisemblable la loi . est associative.
Et {a}, {b}, N est une partition répondant aux conditions demandées.
On fait la réunion disjointe d'une famille de groupes
Salut,
Pour faire avancer le schmiblick (trouver des exemples n'est sans doute pas si difficile (*)), ce que tu cherches en réalité est :
"quelles sont les conditions nécessaires et suffisantes sur E et sa loi interne pour qu'une telle partition soit possible ?"
C'est ça ? C'est pas facile amha !!!!
(*) Exemple. Bon, si je dis une connerie n'hésitez pas à me le dire
EDIT misère, j'ai mis trop longtemps a répondre, croisement avec GBZM qui a donné un exemple fort proche du mien !!!! PFFFFFF
Dernière modification par Deedee81 ; 15/02/2022 à 07h36.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Bonjour,
GBZM : Cela marche, mais voir mon message #7
DeeDee81 : Si j'ai bien compris, cela ne marche pas, G1, G2, G3 doit former une partition.
Verdurin : on peut aller un peu plus loin avec votre idée : on considère
Je suis Charlie.
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Ah oui, tu as raison, là ce n'est pas possible. Désolé. Encore une histoire d'élément neutre !!!!!Envoyé par Médiat
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
En fait je m'attendais à ce que l'on me dise que ce n'était pas possible puisque " l'élément neutre doit appartenir à chacun des groupes"
Je suis Charlie.
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En effet, et avec l'opération interne induite je vois mal comment contourner ça. Ou il y a une astuce ????
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Je n'ai jamais parlé de sous-groupe, d'ailleurs E n'est pas forcément un groupe (plutôt un monoïde)
Je suis Charlie.
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Ah bé oui, évidemment. J'aurais dû y penser.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
J'avais zappé le message #6 de verdurin, mon exemple est exactement le sien (juste un peu gonflé).
Par ailleurs, avoir un élément neutre pour le gros bazar n'est vraiment pas un problème : on peut toujours ajouter un élément neutre à un magma associatif pour avoir un monoïde.
Oui, mais l'idée est plutôt de partir de E (un monoïde) et non le contraire.
Je suis Charlie.
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C'était une réponse à ton message #7 "et si j'ajoute que E possède un élément neutre, cela ne marche plus".
Je ne comprends pas très bien ce que tu cherches, au fond.
on prend E={1,..,n} et i*j=max(i,j)
la loi * est associative et on a la partition E = {1} u {2} u ... u {n} en n groupes, et 1 est élément neutre de E.
Dernière modification par MissJenny ; 15/02/2022 à 12h07.
GBZM : je voulais faire tomber les gens dans le piège décrit à mon message 13 (tout cela doit être pris comme un jeu et rien d'autre)
MissJenny : oui, cela marche.
Peut-on faire la même chose en partant de
Je suis Charlie.
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J'avais surinterprété tes intentions
En tout cas passionnant ce jeu (surtout à suivre quand on n'est pas assez calé
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
