fonction a plusieurs variables: EDP

[invitef20807e3]

bonjour
j'ai besoin de votre pour resoudre cette equation aux derivees partielles en coordonnee polaire.
(E): x ∂f/∂x (x,y)+y ∂f/∂y (x,y)=√(x^2+y^2 )
j'ai essayer de le resoudre en coordonnee polaire mais j'y arrive pas du tout.
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[jacknicklaus]

Bonjour,

que vaut x en fonction de r et theta ? , idem y ?

comment exprimer ∂f/∂x en fonction de ∂f/∂r et ∂f/∂theta ? idem ∂f/∂y ?

[invitef20807e3]

il n'y avait aucune autre indication a part cette partie "resoudre en equation polaire" et donc j'ai posé x=rcos(tetha) et y=rsin(tetha)
donc ∂r/∂x=1/cos(tetha); ∂r/∂y=1/sin(tetha); ∂tetha/∂x=-1/rsin(tetha) et ∂tetha/∂y=1/rcos(tetha)
soit g(r,tetha)=f(x,y)
∂f/∂x=∂g/∂r*(∂r/∂x)+(∂g/∂tetha)(∂tetha/∂x) donc
∂f/∂x=(1/cos'tetha))∂g/∂r-(1/rsin(tetha))(∂g/∂tetha)

de meme
∂f/∂y=∂g/∂r*(∂r/∂y)+(∂g/∂tetha)(∂tetha/∂y)
∂f/∂y=(1/sin(tetha))∂g/∂r+(1/rcos(tetha))(∂g/∂tetha)
en remplacçant ∂f/∂x et ∂f/∂y par leurs valeurs dans l'equation j'obtient:
(E): rcos(tetha)[(1/cos(tetha))∂g/∂r-(1/rsin(tetha))(∂g/∂tetha)]+rsin(tetha)[(1/sin(tetha))∂g/∂r+(1/rcos(tetha))(∂g/∂tetha)]=r ce qui donne
(E): r*∂g/∂r-cotan(tetha)*(∂g/∂tetha)+r*∂g/∂r+tan(tetha)*(∂g/∂tetha)=r ce qui donne
(E): 2r*∂g/∂r+[tan(tetha)-cotan(tetha)](∂g/∂tetha)=r
et voila ce que je trouve, et apres ça je ne sais plus quoi faire.

[jacknicklaus]

idonc ∂r/∂x=1/cos(tetha); ∂r/∂y=1/sin(tetha); ∂tetha/∂x=-1/rsin(tetha) et ∂tetha/∂y=1/rcos(tetha).

non. r = racine(x²+y²).

calcule calmement ∂r/∂x en cartésiennes , puis ensuite repasse le résultat en polaires

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef20807e3]

merci jackniclaus, cela marché

[jacknicklaus]

et merci à toi de ton retour.

c'est pas tout le monde qui a cette politesse...

[JJacquelin]

Bonjour et pour information :

La méthode des caractéristiques donne la solution générale sans difficulté. https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A...C3%A9ristiques
Ainsi que l'on s'y attendais, cette solution comporte une fonction F arbitraire. Il faudrait que l'énoncé spécifie une condition aux limites pour que la fonction F puisse être déterminée.

[invitef20807e3]

merci JJacquelin.