fonction de plusieurs variables

[invite4c80defd]

Bonjour, je vous contacte car je rencontre un problème avec un exo, le voici:



Pour la question 1, j'ai essayer de trouver les points critiques de f(x,y)
J'en ai trouver deux : le point (0,0) et (-1/9,-0.25)
Il n'y en a pas d'autres je crois (?) car il est demandé de tous les relever.
Ensuite , il montrer que f admet (ou pas) un extremum local en(0,0)
J'ai essayer de chercher le signe de f(x,y)-f(0,0) mais sans succès.
J'ai essayer de factoriser la fonction pour étudier son signe mais je n'y arrive pas non plus.
Comment dois-je faire ? y'a t-il d'autres méthodes ?
Enfin , pour la question 2.b), j'ai commencé pas remplacer y par 2, j'obtiens: f(x,2)=8x^2(3x+5) mais comment puis-je trouver un x tel que l'on ait un extremum (min ou max ) local? parce que les extremum de la fonction de sont-ils pas seulementles points critiques ? (ainsi que les bords du domaine de définition éventuellement, mais ici le domaine de défintion est R2, on s'en occupe donc pas)
Je vous remercie d'avance
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[invite4c80defd]

Je vous donne la fonction au cas où elle ne serait pas visible :
f(x,y)=x^2*y^3(3x+2y+1)
la première question est: "déterminer tous les points susceptibles d'être des extrema pour f "
la seconde: "f présente t-elle un maximum local en (0,0) ?"
La troisième est:"quelle valeur faut-il nécessairement donner a x pour que f puisse présenter un extremum quand y=2, obtiens t-on vraiment un extremum ?"
merci.

[invite33c0645d]

Tout dépend de ton niveau an calcul différentiel aussi !

Si tu connais la matrice Hessienne, regarde de ce côté là et tu pourras simplement comprendre si oui ou non ce point d'irrégularité est un minimum, un maximum, un point col, ou autre chose ^^

A-t-on un extremum en (0, 0) ? Je dirais intuitivement que non.
Pour le démontrer prend une boule (c'est-à-dire un cercle de R2) de rayon epsilon positif strict. Trouve alors deux points (par exemple y négatif et x positif puis x et y positifs) qui te permettent d'affirmer que f(0, 0) = 0 n'est ni un max ni un min ^^

Pour la question 2)b) Il 'agit de résoudre un système d'équation (donné par Lagrange, je ne sais plus le nom): chacune des dérivées doivent être nulle au point où tu cherches un minimum. Il te faut alors poser ce système d'équations pour y qui vaut 2!

[invite4c80defd]

Bonjour, merci d'avoir répondu.
Je pense que j'ai compris pour la question2.b.
Pour la premiere, j'ai essayé déjà avec la matrice hessienne (que je viens de découvrir) , on calcule ensuite une sorte de discriminant lié à cette matrice.
Seulement, d’après mon cours, il est impossible de conclure lorsque ce discriminant vaut= 0 , et c'est le cas ici .
mon prof m'a dit ce matin, de fixer une des deux variables ( elle devient une constante) et d'étudier alors la fonction obtenue mais j ne comprend la méthode ni ce vers quoi je dois aboutir. ( parce que je ne comprend pas trop celle que vous m'avez donné même si je suis persuadé qu'elle fonctionne très bien )
Connaissez vous cette méthode ?
Merci d'avance

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite14e03d2a]

Pour la question 2)b) Il 'agit de résoudre un système d'équation (donné par Lagrange, je ne sais plus le nom): chacune des dérivées doivent être nulle au point où tu cherches un minimum. Il te faut alors poser ce système d'équations pour y qui vaut 2!

Je ne suis pas d'accord: trouver les points où les deux dérivées partielles s'annulent ne donnent que les points critiques de . Dans la question 2b), il me semble (je trouve la formulation de la question maladroite) qu'il est demandé de déterminer l'extremum de la fonction définie par . Pour cela, il suffit d'appliquer son cours sur les fonctions d'une seule variable. Mais, si est un extremum de , il n'y a aucune raison que soit un extremum (et donc un point critique) de .

Pour la question 1), le calcul du Hessien est probablement la meilleure méthode. Une autre méthode qui peut être utile pour montrer qu'un point n'est pas un extremum d'une fonction à plusieurs variables, c'est d'utiliser le fait que "si P est un extremum de f, alors P est un extremum de " où est un sous-ensemble contenant . On peut appliquer cela à A une droite bien choisie et se ramener à l'étude d'une fonction d'une seule variable.

Cordialement

[invite33c0645d]

Pour le 2)b) je n'avais en effet pas compris la question de cette manière.

@Isis-mirka : As-tu lu et compris ma réponse en entier ?
Je sais bien que la hessienne ne te permettra pas de conclure! C'est pourquoi il faut trouver une astuce. Je te proposais d'écrire explicitement ce que veut dire avoir un minimum local et de voir qu'en réalité le contraire est vrai ^^

En ce qui concerne la méthode de ton professeur, elle n'est pas sotte Il faut te représenter les choses, et je pense que tout ira mieux... Que veut dire fixer y ? Cela revient à s'intéresser au graphe d'une fonction à une variable réelle, qui n'est autre que la trace de la surface engendrée par ton application et un plan y=... Donc si cette application ne présente pas de minimum, maximum local, on ne peut pas avoir un minimum ou un maximum local pour f.

Encore une fois, j'ai développé cette idée dans mon précédent message : "Trouve alors deux points (par exemple y négatif et x positif puis x et y positifs)..."

Il vaut mieux me dire que j'ai mal fait passé un message plutôt que de ne pas le lire et ainsi me faire comprendre que j'écris dans le vent !

[invite4c80defd]

Salut,
j'ai bien lu en entier ton message Suite2, ne t'inquiète pas mais je ne vois comment montrer que f(0,0)=0 n'est ni un max ni un min.
Si j'applique ta méthode, je suis censé trouver deux points (par exemple y négatif et x positif puis x et y positifs) qui me permettront d'affirmer que f(0, 0) = 0 n'est ni un max ni un min

si je prend A(1,-1), f(A)=-2
et B(1,1), f(B)=6

A partir de ces deux points, Comme f(A) est négatif et f(B) qu'est ce que j'ai montré ?
Je suis sincèrement désolé de ne pas comprendre cette méthode qui n'est peut être pas si compliquée en réalité, mais les fonctions à deux variables sont nouvelles pour moi ainsi que les méthodes qu'elles nous font utiliser....

Juste une chose,j'ai trouvé dans un livre une sorte de méthode qui consiste à calculer f(x,0) et f(0,y) pour le point (0.0) et dans ce livre , ils en déduisent si ce point est un max ou min local. j'ai donc calculer:
f(x,0)=0
f(0,y)=0
qu'en dire ?

Merci d'avance.

[gg0]

Bonsoir Isis-mirka.

Tu comprendras sans doute un peu plus en comprenant que si f est une fonction de deux variables, z=f(x,y) est une surface dans l'espace repéré par un repère (disons orthonormé). Donc la valeur de f(x,y) et la cote d'un point d'abscisse x et d'ordonnée y.
Comment est faite une surface lisse de l'espace qui a un maximum (pour z) ? Tu as déjà vu cela (bosse sur le sable de la plage, sommet d'un ballon, sommet de colline,...).

Cordialement.

[invite14e03d2a]

f(0, 0) = 0 n'est ni un max ni un min

si je prend A(1,-1), f(A)=-2
et B(1,1), f(B)=6

A partir de ces deux points, Comme f(A) est négatif et f(B) qu'est ce que j'ai montré ?

Cela montre qu'il faut absolument que tu relises la définition de maximum et de minimum (global)!

[invite4c80defd]

bonsoir, bravo pour la rapidité!
Une surface lisse qui a un maximum (prenons le cas d'une colline), atteint comme une sorte de "plat" (il y a des histoires de dérivée nulles je crois ). Un exemple est très parlant et je comprend mieux avec les exemples de la vie quotidienne mai où voulez-vous en venir exactement, ( désolé je suis un peu long à la détente comme on dit).

[invite4c80defd]

pour ce qui est de la défintion, je crois que c'est : " le point (a,b) est un minimum de f(x,y) ssi
f(x,y)=>f(a,b)
et f(x,y)<=f(a,b) (=0 dans ce cas).


comme on a f(0,0)=0, et f(A)=-2<0, cela prouve que le point (0,0) n'est pas un min global ( pareil pour la max avec le point B),mais ce n'est pas parceque n'est pas un max/min global que n'est pas un max/min local non ? (corrigez moi si mon raisonnement est faux).
Merci

[invite33c0645d]

Je comprend mieux alors ta réaction, car je n'ai pas été assez clair!

Dans ce cas, on prend

On dit que f admet un minimum local en (0, 0) si,



Je rappelle que l'ensemble désigne la boule ouverte centrée en 0 (pour la norme euclidienne dans notre cas) c'est-à-dire (dans notre cas) le cercle de centre l'origine et de rayon rho.

Je veux démontrer que f n'admet pas d'extremum local en 0. C'est-à-dire que f n'admet ni minimum local ni maximum local. Occupons nous du minimum local. Je te laisse le soin de faire "pareil" avec le maximum local.

On fixe un .
On veut trouver un point de la boule décrite plus haut qui montrerait que f(0, 0) = 0 n'est pas la plus petite valeur. Il suffit donc de trouver un point de la boule qui rendrait f négative par exemple. Là je prétend qu'il n'est pas nécessaire d'être un génie pour essayer de trouver un point qui marche sans pour autant comprendre la représentation de f. Regardez f dans le blanc des yeux, suffit (me semble-t-il) à se faire une idée de comment construire un point.
Prenons par exemple le point
on calcul f(x, y). Et hop miracle ( sauf si on voit ce qu'on fait , ce qui arrive avec l'expérience j'en suis sûr ) cette quantité est négative strictement!

Regarde bien ce qu'on vient d'établir. Qu'en déduit-on quant au caractère de minimum local de f (0, 0) ?

S'il y a un point qui te semble encore trouble, n'hésite pas ^^

[invite4c80defd]

et bien avec le point (rho/2;-rho/2), vous avez montré que si on obtiens une valeur négative pour f , c'est alors que le point( 0,0,0) n'est pas le minimum de f car si c'était le cas , on aurait que des valeurs postives ou nulles pour f , non ?
et donc ,si j'ai compris, pour le maximum, il suffirait de trouver une valeur positive pour f pour dire qu'il n'y a pas de max ?

[invite4c80defd]

Votre méthode , si je l'ai comprise , me parait très efficace.
J'ai un autre exemple: f(x,y)=x^2-2xy+y^3
j'ai encore comme point critique (0,0) et la matrice hessienne comme avant ne permettait pas de conclure
J'imagine que pour cette fonction je peux faire pareil que pour la précedente.(je pense)
Mais si par exemple, je prend un point B(x',y') avec x' et y' non nuls et que je suis dans le meme cas que précedemment, alors votre méthode est bien toujours valide n'est-ce pas ? ( pour le min , je trouve un point (x,y) avec z=f(x,y) plus petit que f(B) et le tour est joué ?)
Merci d'avance.

[invite33c0645d]

Exact vous avez tout à fait compris le raisonnement et son incidence sur le problème de minima!

Il suffit en effet pour le maximum de trouver des valeurs positives!

Maintenant faisons des mathématiques avec les mains, mais qui permettent d'interpréter et donc de comprendre et donc mieux "voir" ce qu'on fait.
Déjà il faut comprendre qu'il y a un lien entre surface et application de R^2 dans R.
Avoir un minimum local en un point c'est dire qu'en regardant la surface suffisamment proche de ce point, on observe une sorte de petit creux (plus ou moins aplatit).
Par exemple tu te balades dans un cratère de météorite, tu regardes au sol et autour de toi et tu te dis tout ce qui est autour de moi est plus grand!

Maintenant que peut-on dire d'un cas de ni min ni max local. Prend un toboggan et arrête toi au milieu. Tu as beau rapprocher ton nez de la surface glissante, tu trouveras toujours un endroit plus et un endroit plus bas que toi

Bien entendu ce que j'ai dit ici n'a aucun sens mathématique si j'oublie les hypothèses qui font que mon interprétation est juste.

[invite33c0645d]

Pour votre seconde fonction, faites de même en effet. Il s'agit de logique mathématique. Ce que je propose n'est pas une méthode, c'est faire une démonstration du contraire d'une assertion! (une méthode si vous voulez en effet..)

Le but trouver un point aussi proche de l'origine qui soit plus grand que f(0, 0) C'est ce que vous proposiez !

[invite4c80defd]

oui , on pourrait croire en fait qu'un extremum local si on se place près de ce point est un extremum global , mias lorsque que l'on "dé-zoom", on se rend compte que se n'est ps forcément le cas.
Cette méthode de trouver un point ( ou deux si on s’intéresse au min et au max) et donc toujours utilisable quelque-soit le point et la fonction considérés ?

[invite33c0645d]

Bonne interprétation des extremums locaux par rapport aux extremums globaux!

Je comprend que tu n'es pas tout à fait convaincu de cette méthode de manière générale.

Pour te convaincre:
Ecrit la définition d'un minimum local en un point avec des quantificateurs.
Ecrit son contraire.

Si tu démontres le contraire c'est qu'il n'y a pas minimum local ^^

[invite4c80defd]

pour cette définition, on prend la meme que les extremums globaux, mais pas sur le domaine definition de la fonction
en entier mais seulement pour un sous-ensemble non ?

j'ai fait la démonstration avec les points (1,-1) et (1,1) et on a montrer qu'il n'y avait pas d'extremum .
mais ne pourrait-il pas y'en avoir un si l'on se centre encore sur le point (0,0) ? (on ferait un zoom)
(peut-etre faudrait-il utiliser des limites en 0 ?)
merci pour vos renseignements

[invite33c0645d]

En effet la définition d'un extremum local est "local". Il s'agit de prendre un sous-ensemble (boule ouverte ouvert) en général assez petite pour observer un cratère, un col, une scelle, un pic de montagne.

Il certain que si tu prends deux points au pif, tu ne montre rien du tout! En revanche si tu trouves un point où ton application est toujours au-dessus(ou au-dessous) tu auras trouvé un min global(un max). Et c'est là qu'intervient ton cours : Si f admet un minimum alors les dérivées sont nulles. Ce qui te permet de ne t'intéresser qu'à un certain type de point. Au départ tu avait R^2 possibilités et maintenant uniquement celles qui vérifient les conditions..