f''(x) + f(-x) = cos(x) + x

[NiBaAg32]

Bonsoir, je suis bloqué sur une question de mon DM, si certains peuvent m'éclairer sur le sujet, cela serait volontiers.

Le but de cette exercice est de déterminer toutes les fonctions f dérivables deux fois sur R telles que : (E) : f''(x) + f(-x) = cos(x) + x

D'une part, on m'a demandé de résoudre l'équation (E1) : y'' - y = x #facile
D'autre part, on m'a demandé de résoudre l'équation (E2) : y'' + y = cos(x) #facile également

Puis, soit f une solution de (E). On considère la fonction g définie sur R par g(x)=(f(x)+f(-x))/2

La question est d'établir que la fonction g est solution dans R de (E2), puis d'en déduire la forme de l'expression de g. Et là je bloque...

Merci de votre aide, bonne soirée !
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[Archi3]

Tu peux réécrire l'équation (E) de façon équivalente en remplaçant x par - x ....

[stefjm]

Intéressant.
Maple et Alpha ne savent pas quoi faire avec cette équation différentielle pas ordinaire.

https://www.wolframalpha.com/input?i...+f%28-x%29%3D0

Alpha :
(input is neither a 2D vector field nor a first-order ODE)

Maple :
Error, (in ODEtools/info) found the indeterminate function f with different arguments {f(x), f(-x)}
Error, (in DSI/SplitSys) toutes les fonctions dans le ED ne peut dépendre que de la variable indépendante du problème, a obtenu f(-x)

[Merlin95]

Normal, il ne peut pas supposer à notre place de choisir que des fonctions paires mais si on le prend en compte c'est bon :

https://www.wolframalpha.com/input?i...2Bf%28x%29%3D0

[A voir en vidéo sur Futura]

[Black Jack 2]

Bonjour,

Peut-être ainsi :

g(x)=(f(x)+f(-x))/2

En dérivant 2 fois : g"(x)=(f"(x) + f"(-x))/2
*****
g''(x) + g(x) = (f"(x) + f"(-x))/2 + (f(x)+f(-x))/2

g''(x) + g(x) = (f"(x) + f(-x))/2 + (f"(-x)+f(x))/2

g''(x) + g(x) = (cos(x) + x)/2 + (cos(-x) - x)/2

g''(x) + g(x) = cos(x)

...

[NiBaAg32]

Très intéressant, je pense que cette technique est la bonne, j'ai pourtant déjà essayé de dériver g deux fois... Peut-être une erreur de calcul. Je vais ressayer de mon côté, merci pour vos rapides réponses !

[Black Jack 2]

Bonjour,

Aide complémentaire ...

g''(x) + g(x) = cos(x) résolu devrait donner : g(x) = C.cos(x) + (D + x/2).sin(x) (à toi de le démontrer)

Ensuite, on peut poser : h(x) = (f(x) - f(-x))/2
Et en dérivant 2 fois ... h''(x) = ...
Qui permet de montrer que h''(x) - h(x) = x

Equation qui résolue devrait donner : h(x) = A.e^x + B.e^-x - x

Et en remarquant que f(x) = g(x) + h(x) ...

On obtient f(x) = C.cos(x) + (D + x/2).sin(x) + A.e^x + B.e^-x - x (1)

Il reste à trouver des relations liant C, D, A et B

En partant de (1), on calcule f ''(x) et f(-x)

et avec f''(x) + f(-x) = x + cos(x)

On trouve qu'il faut D = 0 et A+B = 0 (soit B = -A)

Et on arrive finalement à : f(x) = C.cos(x) + (x/2).sin(x) - x + A.(e^x + e^-x)

Voila, à toi de tout refaire, compléter et vérifier... je n'ai rien relu.

[NiBaAg32]

Bonsoir, en effet, comme marqué dans mon message d'origine, j'ai réussi à résoudre les deux petites équations différentielles , cela me permet de revérifier mes résultats car je trouve la même chose !
Il me restait donc plus qu'à relier les constantes. Ensuite, j'ai donc remarqué que f(x)=h(x)+g(x). En effet, comme g(x)=(f(x)+f(-x))/2 et que h(x)=(f(x)-f(-x))/2, on réussi très vite à isoler f(x).
Etant donné que l'on a maintenant les expressions de h et de g, j'ai écrit directement l'équation différentielle de base (celle qu'on cherche), ce qui fait f''(x)+f(-x) = un beau bazar trop long à écrire ici.
Des choses se simplifient après calcul et on peut donc sortir les conditions sur les constantes pour que l'équation de base soit vérifiée. Je tombe sur A+B=0, comme vous, D=0, comme vous, et C€R. Je me rends donc compte que vos calculs sont bons également.
Il me manquait juste le truc de remplacer x par -x finalement ahah.

Merci encore, bonne soirée !