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DL de x^x en 0



  1. #1
    ezbn

    DL de x^x en 0


    ------

    Bonjour,
    je dois résoudre le problème suivant :

    Déterminer les réels a, b et c tels que x^x = a + b.x.ln(x) + c.x^2.(ln(x))^2 + o(x^2.(ln(x))^2), lorsque x tend vers 0.

    Forcément Taylor Young ne fonctionne pas, et puisque ln n’est pas dérivable en 0 je ne peux pas faire la composée avec exp(x(ln(x)).

    Pouvez vous m’aider ?
    Merci d’avance

    -----

  2. #2
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : DL de x^x en 0

    Bonjour.

    Comme en 0, a est facile à trouver. Ensuite, on peut étudier pour trouver b, etc.

    Cordialement.

  3. #3
    jacknicklaus

    Re : DL de x^x en 0

    plus nécessaire
    Dernière modification par jacknicklaus ; 22/01/2023 à 16h22. Motif: grillé par gg0
    There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.

  4. #4
    stefjm

    Re : DL de x^x en 0

    Étant donné que X=x.ln(x) tend vers 0 en 0, ne peut-on pas ?
    - prolonger X par continuité en 0 à droite
    - développer e^X en série en 0+, puis remplacer X par x.ln(x)

    J'ai un doute pour cause de non définition à gauche de 0.
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : DL de x^x en 0

    Oui, formellement ça marche, mais je ne sais pas justifier la méthode.

    Cordialement.

  7. #6
    GBZM

    Re : DL de x^x en 0

    Bonjour,
    C'est simple à démontrer : on part du développement limité en 0 de , en remplaçant pour se rassurer le par , et puis on substitue à . On utilise la composition des limites pour conclure.

  8. #7
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : DL de x^x en 0

    Ah oui ! Tout simplement.

    Cordialement.

  9. #8
    stefjm

    Re : DL de x^x en 0

    Pour ma culture générale mathématique, pourriez-vous me donner un exemple où le raisonnement formel que j'ai fait au dessus est mis en défaut.
    C'est peut-être évident, mais je ne trouve pas tout seul.
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  10. #9
    Merlin95

    Re : DL de x^x en 0

    Où est le problème ? x^x n'est valable que pour x > 0.
    « Il y a 3 sortes de gens au monde : ceux qui savent compter et ceux qui ne savent pas. »

  11. #10
    stefjm

    Re : DL de x^x en 0

    Mon post #4 ne semblait pas suffire à gg0, donc je me dis que j'ai du raté un truc.

    https://forums.futura-sciences.com/m...ml#post7049104
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  12. #11
    Merlin95

    Re : DL de x^x en 0

    Il n'y pas à s'inquieter, si on ne veut établir la formule que pour .

    Mais si on prolonge en en posant , comme forcément limite en de = limite en de

    On peut en déduire que ( tend vers pour tout ).
    « Il y a 3 sortes de gens au monde : ceux qui savent compter et ceux qui ne savent pas. »

  13. #12
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : DL de x^x en 0

    En fait GBZM a justifié la méthode. Donc ce n'est pas simplement formel.

    Cordialement.

  14. #13
    Merlin95

    Re : DL de x^x en 0

    Je ne vois pas bien ce que vous voulez dire.
    « Il y a 3 sortes de gens au monde : ceux qui savent compter et ceux qui ne savent pas. »

  15. #14
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : DL de x^x en 0

    Je répondais à Stefjm.

    Cordialement.

  16. #15
    Merlin95

    Re : DL de x^x en 0

    Oui mais je ne sais pas comment on peut accepter formellement le résultat (mot formel aussi dans votre dernier message à stephjm) sans savoir le démontrer donc j'ai aussi pensé être passé à coté de quelque chose aussi.
    Bref, ce n'est pas la question de l'auteur de toute façon.
    Dernière modification par Merlin95 ; 24/01/2023 à 20h22.
    « Il y a 3 sortes de gens au monde : ceux qui savent compter et ceux qui ne savent pas. »

  17. #16
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : DL de x^x en 0

    Dans un calcul formel, on laisse de côté la signification des écritures et on applique seulement des règles réduites à leur écriture.

    Cordialement.

  18. #17
    Merlin95

    Re : DL de x^x en 0

    Ok mais il me semble alors plus juste de dire que GBMZ a développé un point.
    Mais la signification est uniquement une histoire d'effort personnel pour la comprendre.

    Et selon moi, la justification est surtout dans la seule bonne application des règles de calcul du domaine dans lequel on se place. Comme dit GBMZ, il a juste permis aux lecteurs de se rassurer.
    Dernière modification par Antoane ; 24/01/2023 à 23h54. Motif: A la demande de l'auteur
    « Il y a 3 sortes de gens au monde : ceux qui savent compter et ceux qui ne savent pas. »

  19. #18
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : DL de x^x en 0

    Justement non.
    A moins que tu appelles "permettre aux lecteurs de se rassurer" le fait de donner les éléments de preuve. GBZM propose des théorèmes précis à appliquer là où les explications de Stefjm me laissaient dans le doute.

    Cordialement.

  20. #19
    stefjm

    Re : DL de x^x en 0

    Je n'avais pas parler de composition de limite et c'est ce qui manquait pour que cela devienne "évident"?
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  21. #20
    Merlin95

    Re : DL de x^x en 0

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Justement non.
    A moins que tu appelles "permettre aux lecteurs de se rassurer" GBZM propose des théorèmes précis à appliquer
    Ce n'est pas moi, mais GBMZ qui le dit, et ce sur quoi il parle de rassurer le lecteur n'est pas un théorème, juste un rappel de définition de .

    Comme stefjm, je ne vois pas exactement de quel doute vous voulez parler, et donc ce qui vous a permis de lever un doute.
    Dernière modification par Merlin95 ; 25/01/2023 à 09h56.
    « Il y a 3 sortes de gens au monde : ceux qui savent compter et ceux qui ne savent pas. »

  22. #21
    stefjm

    Re : DL de x^x en 0

    Ou alors c'est le passage série entière (infini) -> développement limité à un ordre donné
    que je n'ai pas assez explicité?

    J'aimerais bien comprendre où j'ai pris un risque mathématique.
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  23. #22
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : DL de x^x en 0

    En fait il y a deux différences : la fonction sur laquelle on fait un DL et le passage à la limite. Mais le principal est le choix d'un DL classique.

    Cordialement.

  24. #23
    Merlin95

    Re : DL de x^x en 0

    Après c'est comme les limites : par exemple limite en 0 de = limite en 0, de e^X quan X tend vers 0, puisque tend vers 0 en 0.
    Dernière modification par Merlin95 ; 25/01/2023 à 11h24.
    « Il y a 3 sortes de gens au monde : ceux qui savent compter et ceux qui ne savent pas. »

  25. #24
    GBZM

    Re : DL de x^x en 0

    Perso, je ne comprends pas grand chose au message #11. Mais ce n'est pas grave.
    Sinon, il est déplacé de parler ici de développement en série. On ne parle que de développement limité.
    Et ezbn s'est évanoui dans la nature ...

  26. #25
    stefjm

    Re : DL de x^x en 0

    C'est moi qui ait parlé de série par erreur, par déformation de l'anglais et des traductions parfois vaseuses des logiciels de calcul formel.
    J'aurais du écrire
    développement limité de e^X en 0+ à l'ordre 2, puis remplacer X par x.ln(x).
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  27. #26
    Merlin95

    Re : DL de x^x en 0

    Comme c'est un peu HS, je mets en spoil.

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    Dernière modification par Merlin95 ; 25/01/2023 à 18h53.
    « Il y a 3 sortes de gens au monde : ceux qui savent compter et ceux qui ne savent pas. »