Q-ev

[Melvin64]

Bonsoir je suis en licence de maths et le prof d'Algebre nous a dit que le corps C des complexes était un R-ev. D'où ma question, R est-il un Q-ev ? Si oui comment le montrer rigoureusement ? Merci d'avance
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[gg0]

Bonjour.

La réponse est oui. Et la preuve est immédiate avec la définition d'un espace vectoriel. (R,+) est un groupe commutatif, et les propriétés du produit d'un réel par un rationnel sont déjà établies par les propriétés de la multiplication dans R.

Plus généralement, si K est un corps et L un sous-corps de K, alors K est un L-espace vectoriel.

Cordialement.

[Resartus]

Bonjour,
@gg0 : Ne faut-il pas avoir l'axiome du choix pour que ce soit démontrable? (mais je ne sais pas si c'est du programme de licence?)

[GBZM]

Bonjour,
Il n'y a absolument pas besoin d'axiome du choix.
Tout espace vectoriel est un -espace vectoriel par restriction des scalaires et tout -espace vectoriel est un -espace vectoriel par restriction des scalaires.
C'est le principe "Qui peut le plus peut le moins" : si les axiomes d'espace vectoriel sont vérifiés pour les scalaires complexes, ils le sont a fortiori pour les scalaires réels ; s'ils sont vérifiés pour les scalaires réels, ils le sont a fortiori pour les scalaires rationnels.

Là où l'axiome du choix intervient, c'est pour montrer l'existence d'une base de en tant que -espace vectoriel. Mais c'est une autre histoire.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Resartus]

EDIT gratté dans ma rectification
Oups, je retire ce que j'ai dit.
On peut toujours vérifier les définitions. C'est pour trouver une base que l'axiome du choix serait nécessaire

[MissJenny]

C'est pour trouver une base que l'axiome du choix serait nécessaire

l'axiome du choix est équivalent à l'axiome qui affirme l'existence d'une base pour un espace vectoriel abstrait quelconque. Mais dans le cas de R et Q il paraît possible a priori qu'on puisse démontrer l'existence d'une base en utilisant les propriétés de R.

[GBZM]

Euh, MissJenny, tu peux développer ? Parce que là, je ne vois absolument pas ce que tu sous-entend dans ta dernière phrase. Quelle propriété de ? Le fait d'avoir une base sur , par exemple ?

[MissJenny]

ce que je voulais dire c'est que l'axiome du choix permet d'affirmer qu'un espace vectoriel quelconque a une base. Mais il n'est pas nécessaire, par exemple pour les ev de dimension finie. Pour R et Q je ne sais pas. Je sais que la démonstration classique fait appel à l'axiome du choix, mais ça ne dit pas qu'il n'existe pas une autre démonstration. En tout cas à moi ça ne paraît pas évident.

[MissJenny]

en fait je réagissais à cette phrase (au conditionnel) de Résartus

C'est pour trouver une base que l'axiome du choix serait nécessaire

et j'ai pensé : pas nécessaire, plutôt suffisant.

[GBZM]

Si admet un bon ordre, alors il a une base sur (une base de Hamel). Mais l'existence d'une base de Hamel n'entraîne pas dans ZF que peut être bien ordonné.