Bonsoir,
Je ne sais pas si l'égalité Im(f|im(f)) = Im(f^2) est vraie ou non. De même avec le ker.
D'un côté j'aurais tendance à dire que oui:
Im(f|im(f))={f(y)|yeIm(f)}={f^ 2(x)|xeE}=Im(f^2)
Mais d'un autre j'ai des résultats bizarres en appliquant cette propriété (avec le théorème du rang: rg(f)=rg(f|Im(f))+dim(ker(f|Im (f)) => rg(f) = rg(f^2)+dim(ker(f^2)) ce qui est faux par exemple l'endomorphisme nulle).
Donc je bug.
Pourtant avec l’endomorphisme nul, tu as bien Im(f|im(f)) = Im(f^2) ={0}.
En fait, ton "calcul" est faux car dim(ker(f|Im (f)) n'est pas dim(ker(f^2)). Pour l'endomorphisme nul ker(f|Im (f))={0} alors que ker(f²)=E.
Cordialement.
Ah oui merci, en fait on a plutôt ker(f|im(f)) inclu dans ker(f^2) non?
Mais cette propriété est elle bien vrai pour les im? (La propriété que j'ai essayé de démontrer)
Bon, reprenons simplement. La preuve que tu as écrit au message #1 est-elle fausse ? Est-elle juste ?
Pour savoir si elle est juste, tu regardes simplement si tu as appliqué strictement les règles des maths. Si c'est le cas, pas de problème.
Donc dans ce que tu as écrit, où vois-tu une non application des règles ?
Dernière modification par gg0 ; 13/10/2024 à 17h54.
Si ta preuve te semble un peu "légère", démontre ton égalité par double inclusion. Tu écrivais "Im(f|im(f))={f(y)|yeIm(f)}={f ^ 2(x)|xeE}=Im(f^2)", tu peux remplacer ça par
* soit x dans Im(f|im(f)), alors ... (but arriver à x est dans Im(f²))
* soit x dans Im(f²) alors ... (but arriver à x est dans Im(f|im(f)) )
Et regarde toi-même ce qui se passe pour les ker. Ça peut d'ailleurs être instructif d'analyser ce qu'il y a dans ker(f²).
Cordialement.
