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Adjoints



  1. #1
    Quinto

    Adjoints


    ------

    Bonjour,
    j'aimerai savoir comment vous feriez pour répondre à cette question.
    J'ai vu une preuve qui ne m'a vraiment pas plu, cependant la mienne semblerait incomplète...

    Voilà, en nota u* l'adjoint de u, avec u un endomorphisme de E et E un espace vectoriel euclidien (eve)

    u*u=0 implique que u=0

    Voilà l'énoncé est clair et précis

    -----

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  3. #2
    Quinto

    Re : Adjoints

    ps: la question étant bien sur de démontrer ce résultat...

  4. #3
    folky

    Re : Adjoints

    tu te munis du produit scalaire et tu écris que

    <U*U(x),x>=0 <=> <U(x),U(x)>=0 et ça c'est la norme de U(x) et si elle est nulle pour tout x c'est que l'endomorphisme est nul

  5. #4
    Quinto

    Re : Adjoints

    C'est marrant, c'est ce que j'ai fait, et c'est ce que tout le monde me dit (j'avoue, ce n'est pas le 1er forum) mais mon prof m'a dit que ce n'était pas vrai sur l'espace tout entier ...

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    folky

    Re : Adjoints

    quelle partie n'est pas vrai sur l'espace tout entier ?

  8. #6
    Quinto

    Re : Adjoints

    Nan mais moi je suis convaincu du résultat hein :d
    Bon j'irai lui en toucher mot à l'occasion

    Merci, ca me rassure, c'est pas la 1e fois qu'une bévue du genre, de sa part se produit...

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  10. #7
    Geof

    Re : Adjoints

    Mes cours d'algèbre linéaire sont déjà loin, mais la démonstration me semble correcte, et complète.
    Pourrais-tu poster celle que tu as vu et qui ne t'a pas plu ?

    Geoffrey

  11. #8
    folky

    Re : Adjoints

    ralalala les profs qui font des erreurs c'est casse pieds, apres on sait plus ou on en ait ^^
    Pas plus tard qu'hier je galerais sur un devoir maison jusqu'a ce que je trouve un contre exemple pour ce que j'étais sensé démontrer :')
    Le lendemain le prof ma confirmer la faute d'énoncer ^^

  12. #9
    Quinto

    Re : Adjoints

    Re-bonjour,
    la démo qui ne m'a pas plue passait par les matrices(on est en dimension finie c'est donc possible).
    Moyennant un changement de base, on se ramène à avoir le représentations v et v* respectivement de u et u* dans la nouvelle base qui sont liées par la relation
    tv=v*
    (ca se démontre assez simplement, la matrice représentative de toute forme quadratique définie positive étant congruente à l'identité)

    à partir de là celà revient à montrer que tvv=0 implique v=0.
    Et là ca devenait calculatoire...

    Folky, c'est pas de chance c'était quoi ce fameux sujet?
    Dernière modification par Coincoin ; 11/05/2004 à 18h09. Motif: Correction de balises. Coincoin

  13. #10
    folky

    Re : Adjoints

    c'était sur les transformées de fourier

    il fallait montrer que U(hg)=fourier(h)U(g)

    h,g des fonctions
    et U=fourier composé avec un endomorphisme T composé avec fourier inverse

    Bref j'ai cherché et puis comme on connaissait pas T et que je galérais j'ai essayé pour T=identité donc U devenait identité, et donc j'ai vu qu'il fallait montrer en fait que:
    U(hg)=hU(g).

    J'étais pas mécontent de moi lol

  14. #11
    Geof

    Re : Adjoints

    Citation Envoyé par Quinto
    à partir de là celà revient à montrer que tvv=0 implique v=0.
    Et là ca devenait calculatoire...
    Oui, et c'est même moins bien que la solution par la norme, parce que la matrice ne compte que les vecteurs de la base
    Plus sérieusement, les termes diagonaux de tvv sont les normes des u(ei) au carré, et le reste suit immédiatement. Les autres termes représentent de la même façon les produits scalaires <u(ei)|u(ej)>. J'imagine que c'est parce que ta démonstration ne considère que des normes que ton prof dit que ce n'est pas vrai sur l'espace complet (comme si tu ne considérais que les termes diagonaux de la matrice). Mais la démo est parfaitement valable.

    Geoffrey

  15. #12
    dupo

    Re : Adjoints

    pour ma culture,
    est ce qu'un espace vectoriel normé définit nécessairement un produit scalaire ?
    pour R^n, il existe bien un produit scalaire canonique, mais pour d'autres cas plus "pathologique"?

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  17. #13
    folky

    Re : Adjoints

    hum déjà la question serait plutot, une norme définit elle un produit scalaire, parce que l'espace associé il rentre pas en compte.

    J'ai un léger doute, mais normalement la norme ne donne pas forcément de produit scalaire.
    Si tu as vu les espaces de banach, tu dois savoir qu'ils sont muni d'une norme mais pas d'un produit scalaire

  18. #14
    Meumeul

    Re : Adjoints

    Salut,

    sur ton espace normé(réel), si il existe un produit scalaire, il est donné par: (si je me souviens bien...)
    <x|y>=(|x-y|-|-x-y|)/4 avec |x|=norme de x

    Apres, faut verifier les hypothese d'un produit scalaire
    Dernière modification par Coincoin ; 13/05/2004 à 12h59.

  19. #15
    Quinto

    Re : Adjoints

    Le truc serait de regarder la norme n, de l'elever au carré n² et de regarder si
    n²(x+y)-n²(x)-n²(y) est une forme bilinéaire.

    Si c'est le cas, on a bien un produit scalaire, sinon c'est pas de chance...

    Par exemple sur R² la norme définie par
    n(u)=||u||=|x|+|y| avec u=(x,y) et v=(x',y')

    n²(u+v)=(x+x')²+(y+y')²+2(x+x' )(y+y')
    n²(u)=x²+y²+2|xy|
    n²(v)=x'²+y'²+2|x'y'|

    on regarde ce que vaut n²(u+v)-n²(u)-n²(v) et on trouve
    |x+x'|+|y+y'|-|x|-|x'|-|y|-|x'|

    ce qui ne me semble pas etre tellement linéaire tout ca...
    Donc cette norme (dite N1) n'est pas issue d'un produit scalaire si je ne m'abuse...

  20. #16
    dupo

    Re : Adjoints

    et, en fait , la suite de ma question, serait, dans la demo
    avec le produit scalaire, justement est ce bien légitime de se munir d'un produit scalaire, pour faire la preuve?

    oui, dans ma question, je me demandais si l'hypothèse d'avoir un ev + norme, permet de définir/construire un produit scalaire ?

    une norme définit elle un produit scalaire, parce que l'espace associé il rentre pas en compte
    à justement, je ne voulais pas poser comme ça la question, parce qu'on peut définir un produit scalaire canonique dans R^n,avec les composantes sur la base canonique.
    le fait d'avoir un ev de dim fini, joue alors son rôle.

  21. #17
    folky

    Re : Adjoints

    dit toi qu'a partir du moment ou tu travails sur des espaces finis tout va pour le mieux dans le meilleurs des mondes ^^
    Déjà parce qu'il y a équivalence des normes partout et qu'effectivement on peut se munir du produit scalaire partout

  22. #18
    dupo

    Re : Adjoints

    dit toi qu'a partir du moment ou tu travails sur des espaces finis ....
    qu'effectivement on peut se munir du produit scalaire partout
    comment construire/définir ce produit scalaire ?
    sinon, peux tu me donner une référence pour que je m'en persuade?

    à+

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  24. #19
    Quinto

    Re : Adjoints

    Quand t'es dans n'importe quel espace tu peux trouver une forme quadratique définie positive, pas besoin d'etre dans un R^n.

    Comme le dit Folky, tout va pour le mieux dans le meilleur des mondes dans les R^n.

  25. #20
    dupo

    Re : Adjoints

    bon, apparemment, pour vous construire un produit scalaire est trivial,
    donc, finalement,dans R[X] c'est facile de trouver les polynomes d'hermite , de même que pour trouver les harmoniques sphériques, c'est trivial.

    bon, ben, je vais me mettre au boulot, pour que ça devienne évident aussi pour moi.

  26. #21
    Meumeul

    Re : Adjoints

    SAlut,

    fais quand meme gaffe a la dimension de R[X] qui est sensiblement infinie. En ce qui concerne la construction d'un produit scalaire sur un espace E de dimension n(indépendant de la norme dont tu l'as muni), il suffit de te donner une base de E, tu construis une bijection avec la base canonique de R^n ou C^n, et tu utilise leur produit scalaire....enfin je suis convaincu que ca marche

  27. #22
    dupo

    Re : Adjoints

    ev + norme, permet de définir/construire un produit scalaire ?
    tel était ma question, je ne parlais pas de dimension à ce moment là.
    mais, bon...tant pis pour cette fois.

  28. #23
    folky

    Re : Adjoints

    dupo j'ai répondu a ta question
    ev+norme ne te permet pas de définir un produit scalaire

    Apres en dimension finie, comme l'a dit Meumeul tu fais une bijection avec les R^n pour utiliser leurs produit scalaires

  29. #24
    dupo

    Thumbs up Re : Adjoints


    je ferais attention à mieux lire la prochaine fois.

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  31. #25
    Quinto

    Re : Adjoints

    Cependant tu peux toujours trouver une forme quadratique définie positive sur de tels ev, et la racine de celle ci sera une norme, et en dimension finie elle sera même équivalente à celle que tu te seras donnée au départ, c'est fort non?

    Je t'ai donné je crois plus haut, le contre exemple de la norme N1 qui ne peut pas etre associée à un produit scalaire. (par négation des conditions nécessaires je l'ai fait je crois)

  32. #26
    dupo

    Re : Adjoints

    ben, tu as montré que :
    n²(x+y)-n²(x)-n²(y) n'est pas une forme bilinéaire...

    sinon, personnellement, ma culture mathématique n'est fantastique fantastique, alors quand tu affirmes que:
    Cependant tu peux toujours trouver une forme quadratique définie positive sur de tels ev,
    ben, il faudrait donner la-dite construction...

    merci, meumeul, pour ça!
    Dernière modification par dupo ; 15/05/2004 à 14h07.