un méga besoin d'aide !!!

[invite2be5f9c2]

jai un grand besoin d'aide jai cet exercice à faire et je galère vraiment !!! alors si quelqu'un pouvait m'aider ou au moins m'indiquer quelques pistes japprécierai énormément !!!!
merci d'avance !
on se propose d'étudier l'évolution d'une population de coccinelles à l'aide d'un modèle utilisant la fonction numérique f définie par
f(x)=kx(1-x) , k étant un paramètre qui dépend de l'environnement (k appartient à R).
Dans le modèle choisi, on admet que le nombre des coccinelles reste inférieur à un million. L'effectif des coccinelles exprimé en million d'individus est approché pour l'anné n par un nombre réel Un, avec Un compris entre 0 et 1. Par exempl, si pour l'année zéro il ya 300000 coccinelles on prendra Uo=0.3
on admet je l'évolution d'une année a l'autre obéit à la relation
Un+1=f(Un), f étant la fonction définie ci dessus

1. Démontrer que si la suite (Un) converge alors sa limite l vérifie la relation f(l)=l
2. Supposons Uo=0.4 et k=1
-Etudier le sens de variation de la suite (Un)
-Montrer par récurrence que pour tout entier n, Un compris entre 0 et 1.
-la suite (Un) est elle convergente ? si oui quelle est sa limite ?
3Supposons U0=0.3 et k=1.8
-étudier les variation de la fonction f sur [0.1] et montrer que f(1/2) appartient à [0.1/2] (réponse trouvée)
-en utilisant un raisonnement par récurence,
monter que pour tout n, Un compris entre 0 et 1/2
établir que pour tout n Un+1 est supérieur ou égal à Un
-la suite Un est elle convergente ? si oui quelle est sa limite.
autres questions déjà résolues, merci !!
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[Coincoin]

Salut,
Pour la 1ère question, il suffit de passer à la limite dans l'équation f(u_n)=u_n

-Etudier le sens de variation de la suite (Un)

On montre facilement que pour x>=0 on a f(x)<=x, donc par récurrence, u_n est décroissante...

-Montrer par récurrence que pour tout entier n, Un compris entre 0 et 1.

Ca marche pour u₀ et pour x compris entre 0 et 1, on a f(x) qui reste entre 0 et 1...

-la suite (Un) est elle convergente ? si oui quelle est sa limite ?

La suite est décroissante et minorée (par 0), donc convergente. Et on a: l*(1-l)=l, et l=1 ne peut pas marcher (suite décroissante), donc l=0 (pauvres coccinelles... )

Et pour la suite, c'est la même chose mais en plus dur et en plus guidé
Sur quoi tu bloques exactement ?

En fait, c'est quoi ton niveau ?

[invite980a875f]

Salut,
dans les suites, pour montrer quelque chose par récurrence, on suppose que cela est vrai au rang n, et on essaye de prouver que c'est vrai au rang n+1. Donc si c'est vrai pour u0, ce sera vrai pour u1, puis pour u2, et ainsi de suite.
Dans ton exercice:

Montrer par récurrence que pour tout entier n, Un compris entre 0 et 1.

On supose que 0<Un<1
Donc: -1<-Un<0
0<1-Un<1
0<Un(1-Un)<Un On ne change pas l'ordre car Un>0 par hypothèse.
0<U(n+1)<Un Or Un<1 par hypothèse. Donc 0<U(n+1)<1

On a donc démontré que si 0<Un<1, alors 0<U(n+1)<1. Or 0<U0<1. Donc, pour tout n, 0<Un<1.
Voilà le principe du raisonnement par récurrence.

[invite2be5f9c2]

je vous remercie pour vos indications je vais essayé de tout finir!je vais bien arriver au bout de ce maudit problème ne despérons pa ! lol !
je suis en terminale S et heureusement kil ya la bio pour comblé mon déficit en maths !

[A voir en vidéo sur Futura]