c quoi ce machin ?????

[invite2c6a0bae]

Bonjour

Je vient de lire le post avec les espaces euclidiens et non euclidiens

J'ai deja entendu parlé de l'espace de vuiber (si ca s'ecrit comme ca)

utilisé en meca quantique.
Pourriez vous simplement me donner quelques infos

Merci
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[invite8c514936]

Heu... Tu ne voudrais pas dire "espace de Hilbert" par hasard ?
Si c'est pas ça ok

[invitea29d1598]

je vois pas non plus ce que ça peut être d'autre...

en tous cas, voici une tite lecture générale conseillée (avec des liens en bas de page)

http://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie

[invite2c6a0bae]

Oui oui c 'est espace de hilbert, desolé, j'avais un vague souvenir de ce mot qui somme toute tres important,

Merci

hillbert vuiber ca va on etait pas trop loin, (tout est r'latif )
Desolé pour cette lacune de memoire

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3fc981a]

En gros l'espace de Hilbert en physique quantique ne sert qu'à définir l'espace dans lequel on peut écrire les fonctions d'onde des particules. En effet celles-ci doivent avoir certaines propriétés (carré sommable, normalisables), et si l'on réduit l'espace à un espace de Hilbert, on est sûr que les fonctions qui s'y trouvent ont les bonnes propriétés.

L'espace de Hilbert répond à une desciption mathématique plus précise, mais il faudrait en écrire les équations pour que ça veuille dire quelque chose

[inviteca6ab349]

SAlut,

pour sa definition, un espace euclidien est un espace vectoriel réel de dimension finie.

Espace vectoriel :

• Ensemble E non vide
• stable par la loi + : v + w appartient a E
• loi de composition externe . verifiant (v dans E, a,b dans le corps de base,ici R) a.(b.v)=(ab).x ; 1.v=v ;a.v appartient a E

Ca donne l'espace vectoriel réel

et de dimension finie, c'est à dire qu'il existe un nombre fini de vecteurs (une base notée (e1,e2,.....,en)) tel que tout vecteur de l'espace soit une combinaison linéaire de ces vecteurs de base :
v = a1.e1 + a2.e2 + ...... + an.en

[invitec913303f]

ahah, très interessant sa! Ou en as tu entendu parlé monsieur le physiciens???

[invite2c6a0bae]

Salut

Je ne sais plus du tout ou j'en ai entendu parlé, mais il y a un peu pres 1 mois que je le sais, mais mes souvenirs font defauts.....

En tout cas, je ne suis toujours pas rassasié d'explication
Si vous avec un peu plus de precision sur cette espace de hilbert...

Merci

[invitea29d1598]

les espace de Hilbert sont de manière générale (et grossièrement) des espaces vectoriels munis d'un produit scalaire qui prend des valeurs complexes.

y'a énormément à dire et ça devient vite complexe... je sais pas ce que tu as déjà lu... tu peux regarder ça (bas de page) pour les bases si tu les as pas déjà rencontrées:

http://www.sciences-en-ligne.com/mom...1/Hilbert.html

[invite5e5dd00d]

Autant dire que je ne suis pas encore au niveau. Je viens de voir en maths les espaces pré-hilbertiens. Déja ça m'a semblé assez compliqué lol. J'espère l'année prochaine.

[invitea29d1598]

Je viens de voir en maths les espaces pré-hilbertiens.

ça suffit pour les définitions de base. Ce que je voulais dire c'est juste qu'après y'a des histoires d'espace complet et de théorie spectrale qui interviennent si tu veux faire les choses proprement du point de vue mathématique (pour la physique quantique).

[invite2c6a0bae]

Avec le niveau de math de 1ereS, je galere pas du tout lol , bon je crois que je vais garder le nom en tete et attendre un peu...

Merci quand meme, c'est gentil.

[invite5e5dd00d]

En classe préparatoire tu vois les espaces pré-Hilbertiens en première année. Après je sais pas si on voit les espaces de Hilbert en deuxième année (ça m'étonnerait).
Enfin avec le niveau deuxième année de prépa tu dois pouvoir comprendre (moi d'après le document ça va, même si en pratique c'est autre chose^^).

[invite5e5dd00d]

SAlut,

pour sa definition, un espace euclidien est un espace vectoriel réel de dimension finie.

Espace vectoriel :

• Ensemble E non vide
• stable par la loi + : v + w appartient a E
• loi de composition externe . verifiant (v dans E, a,b dans le corps de base,ici R) a.(b.v)=(ab).x ; 1.v=v ;a.v appartient a E

Ca donne l'espace vectoriel réel

et de dimension finie, c'est à dire qu'il existe un nombre fini de vecteurs (une base notée (e1,e2,.....,en)) tel que tout vecteur de l'espace soit une combinaison linéaire de ces vecteurs de base :
v = a1.e1 + a2.e2 + ...... + an.en

Euh, je suis pas bien sur de ça.
Il existe des espaces vectoriels de dimension finie qui ne sont pas euclidiens (enfin encore une fois à vérifier, mais ça m'étonnerait).
Un espace vectoriel euclidien, c'est ça :
1> L'espace est commutatif : a*b=b*a
2> Associatif : a*(b*c)=(a*b)*c
3> Distributif par rapport à l'addition : a*(b+c)=a*b+a*c
4> x*y=0 <=> x=0 ou y=0 ou x=0/y=0
5> Possède une norme associé à un produit scalaire : ||x||=racine(x*x)

[invite3bc71fae]

Non, toi, c'est un espace pré-hilbertien.

Si un espace pré-hilbertien est en plus de dimension finie, c'est un espace euclidien (si ma mémoire ne me joue pas des tours).

[invite5e5dd00d]

C'était sur sa définition d'espace vectoriel euclidien que je n'étais pas d'accord. Tout espace de dimension finie n'est pas euclidien (ce serait trop beau lol)
(mais en précisant réel comme il l'a fait, c'est peut être vrai quand même)

Et je ne crois pas que l'espace que j'ai cité soir pré-hilbertien

[invite88ef51f0]

Tout espace de dimension finie n'est pas euclidien

Pour avoir un espace euclidien, il faut un produit scalaire, ce que n'a pas un simple espace vectoriel...

[inviteca6ab349]

Si je dis pas trop de connerie, un espace vectoriel réel de dimension finie n est isomorphe à Rⁿ, qui admet un produit scalaire.
On peut donc construire un produit scalaire sur tout espace vectoriel REEL de dimension finie par cet isomorphisme.....enfin j'en suis convaincu.

et la structure de Sigmar ressemble plus a un corps qu'a un espace vectoriel. En effet, sauf pour R et C (et tout autre exemple singulier que je ne connait pas, ainsi que les espaces unidimensionnels) les espaces vectoriels admettent rarement un produit scalaire interne, c'est a dire < x | y > appartient au corps de base et non à l'espace.
Et si tu as noté de la même manière ton produit scalaire et le produit par un scalaire, ca cloche toujours, car un espace vectoriel n'a pas besoin de loi produit interne (il devient une alebre s'il possede une telle loi).

Maintenant, il est vrai qu'avec un peu plus de rigueur, un euclidien est un pre-hilbertien reel de dimension finie, et qu'il admet donc un produit scalaire.

[invite5e5dd00d]

Non mais ce que j'ai donné, c'était la définition d'un espace vectoriel euclidien de dimension finie, par d'un espace vectoriel tout court (ni d'un pré-hilbertien).

Après pour le reste de ce que tu as dis, je crois être d'accord...

[inviteca6ab349]

Posté par Sigmar

1> L'espace est commutatif : a*b=b*a
2> Associatif : a*(b*c)=(a*b)*c
3> Distributif par rapport à l'addition : a*(b+c)=a*b+a*c
4> x*y=0 <=> x=0 ou y=0 ou x=0/y=0
5> Possède une norme associé à un produit scalaire : ||x||=racine(x*x)

Toujours est il que pour moi tu décris plus un corps qu'un espace vectoriel.
Pour etre 'propre', il te manque de définir tes lois :
- qu'est ta loi * ????? produit sur l'espace, loi de composition externe ???????
De plus, le point 4 est fondamental à la description d'un corps, mais non nécessaire sur une algèbre (espace vectoriel + anneau) ou sur un espace vectoriel si * est le produit scalaire.

[inviteb9b852ac]

On parle de physique, là.
Pour résumer (peu rigoureusement) dans le cadre de la physique quantique, un espace de Hilbert est un espace vectoriel de fonctions à valeurs complexes et de carré sommable. Ce qui est particulièrement utile pour définir des opérateurs (Rincevent détaillera sûrement mieux que moi tout cela).

[invite5e5dd00d]

Non mais Meumeul arrete de m'accuser. On a demandé la définition d'un espace vectoriel euclidien de dimension finie (donc pas d'UN espace vectoriel euclidien de dim finie en particulier), et puisqu'on demande je la donne c'est tout.

"Pour etre propre"
C'était pas ce qui était demandé.

La loi de composition est bien entendu mon * est il s'agit du produit scalaire.

Après je peux me tromper, c'est une définition que j'ai dans mon cours, mais bon ça peut arriver (et si c'est le cas je m'en excuse).

(et on est tout de même bien loin de ta définition de départ )

[invitee369853d]

et pour repondre a je sais plus qui, on vois les espaces de hilbert reels et complexes en Maths Spé ( du moins a mon epoque, soit y'a sept ans... ). j'avais strictement rien capté a ces objets mathematiques bizzaroide, mais les cours de meca Q m'ont ouverts les yeux.

[invitea29d1598]

La loi de composition est bien entendu mon * est il s'agit du produit scalaire.

mais c'est ton "l'espace est commutatif" qui est pas clair du tout... et comme le dit Meumeul ton a*(b*c)= (a*b)*c montre que ta loi est interne alors que ce que tu rappelles sont les propriétés d'un produit scalaire qui est supposé être externe. Donc au bout du compte, on sait pas ce qu'est ton truc, plus proche d'un corps que d'un ev comme le dit Meumeul...

par ailleurs, Meumeul avait rappelé les propriétés d'un espace vectoriel réel de dimension finie en omettant juste le fait que pour qu'il soit euclidien il doit être muni d'un produit scalaire réel. Mais comme il l'a dit, tout espace vectoriel réel de dimension finie est isomorphe à Rⁿ qui peut être muni du produit scalaire usuel...

[invite3bc71fae]

Attention un espace de Hilbert peut très bien être un R-espace vectoriel.

Un espace de Hilbert est un espace vectoriel préhilbertien complet (il peut être défini sur le corps R ou C).

La notion de complétude est uniquement une notion liée à la métrique utilisée.

Il y a peut-être des confusions avec les espaces hermitiens qui sont des espaces vectoriels préhilbertiens complexes de dimension finie. (le pendant complexe des espaces euclidiens)

[invite5e5dd00d]

mais c'est ton "l'espace est commutatif" qui est pas clair du tout... et comme le dit Meumeul ton a*(b*c)= (a*b)*c montre que ta loi est interne alors que ce que tu rappelles sont les propriétés d'un produit scalaire qui est supposé être externe. Donc au bout du compte, on sait pas ce qu'est ton truc, plus proche d'un corps que d'un ev comme le dit Meumeul...

par ailleurs, Meumeul avait rappelé les propriétés d'un espace vectoriel réel de dimension finie en omettant juste le fait que pour qu'il soit euclidien il doit être muni d'un produit scalaire réel. Mais comme il l'a dit, tout espace vectoriel réel de dimension finie est isomorphe à Rⁿ qui peut être muni du produit scalaire usuel...

Ok merci pour ces précisions.
Je m'excuse auprès de Meumeul.

[invite3bc71fae]

Plus qu'un corps cela ressemblait plutôt à un anneau commutatif intègre.
Il ne fallait rajouter que le fait que (E,+) est un groupe abélien.

Pour que ce soit un corps, il que la loi interne * possède un inverse, c'est essentiel!!

[inviteca6ab349]

Autant pour moi pour l'anneau integre, mais en meme temps j'en ai jamais vu....

Et il semblerait (dixit ma prof de math) qu'un espace hilbertien soit juste un pre-hilbertien complet, soit un ev sur R ou C, muni d'un produit scalaire et de dimension finie.

Et au passage, à quoi font reference les notions de metriques?

PS : je suis en math spe et on s'est arrêtés aux préhilbertiens et aux euclidiens pour l'etude détaillée. Les choses de dim finie sont quasiment reservées aux exemples de cours et aux exos.....mais les programmes changent.

[invite3bc71fae]

Je pense qu'il va falloir basculer en math là !!!

Un espace de Hilbert est un espace préhilbertien complet, comme te l'as dit ta prof que ce soit sur R ou sur C.

En revanche, la condition evn "de dimension finie" est une condition suffisante mais pas nécessaire.

Tout evn de dimension finie est complet donc tout espace euclidien ou hermitien est un espace de Hilbert.

Mais il existe aussi des espaces de Hilbert de dimension infinie. (... sinon cette notion n'aurait aucun intérêt)

Quand à la métrique c'est un autre nom pour distance que tu connais je crois ?

Les espaces métriques ( c'est à dire muni d'une distance ) sont un type particulier d'espace topologique mais tu verras sérieusement l'an prochain (enfin ça dépend peut-être d'où tu vas)

Voilà.

[inviteb9b852ac]

Pour les considérations purement mathématiques sur les espaces de Hilbert, merci de continuer ici :

http://forums.futura-sciences.com/sh...ad.php?t=11088