Transformation de Lorentz: interprétation physique et généralisation ?

[invitef6a8dd1c]

Salut à tous,

La transformation de Lorentz découle du fait que la lumière se déplace à vitesse constante.
Physiquement, cette transformation dit que, dans un référentiel K' qui se déplace à une vitesse v constante, par rapport à un référentiel galiléen K, les distances sont contractées dans la direction du déplacement, et le temps, de ce fait, se dilate.
En outre, depuis K, un observateur voit effectivement un point fixe de K' se déplacer à une vitesse v.
C'est ce que traduit la relation
(1) x' = g(x-vt) (avec g le gamma relativiste).
En outre, 2 événements simultanés dans K' ne le sont pas dans K. C'est ce "défaut de simultanéité" qui est exprimé dans la relation
(2) t' = g(t-vx/c²).

Dans cette interprétation, je ne pense pas qu'on ait besoin a priori du fait que la vitesse v est constante, mais c'est peut-être précisément sur ce point que je me trompe.
Cependant, si la vitesse de la lumière demeure c, même lorsque la vitesse de déplacement de K' par rapport à K n'est plus constante, mais devient w(t), ne pourrait-on pas écrire une forme généralisée de la transformation de Lorentz (sans faire intervenir un espace-temps non euclidien) ?
La relation (1) me parait assez logiquement pouvoir se réécrire:
(3) x' = g(t)(x-int(w(u).du, u=0..t), dans laquelle on exprimerait que
la vitesse mesurée est effectivement w(t), le facteur de contraction devenant dépendant du temps (en admettant qu'il soit lié à la vitesse instantannée).
Par contre, je sèche pour réécrire la relation (2).
On pourrait considérer les événements situés sur le trajet d'un rayon lumineux, pour lesquels x = ct, et écrire x' = ct' (ou x = -ct => x' = -ct').
On en déduirait que t' = g(t)(t + f(x)), avec f(x) une fonction telle que, pour x = ct
f(x) = 1/c.int(w(u).du, u=0..t), mais la généralisation à tous les événements ne me plaît pas (je n'ai pas d'argument me permettant de généraliser).

Est-ce utopique de vouloir essayer de trouver une telle généralisation dans un espace euclidien ?

Merci,
Geoffrey
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[invite0496604c]

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[invitef6a8dd1c]

D'accord, mais quelle recherche ?

Geoffrey

[inviteb9b852ac]

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[invite8c514936]

En attendant une réponse plus complète (très fort à ce propos ta réponse, boardingman, elle marche pour tous les posts, à défaut de faire avancer les choses...), je ne suis pas sûr de saisir l'intérêt d'une telle transformation générale. Dans le cas de Lorentz, la transformation peut être faite à chaque instant sans problème. Dans le tien, les paramètres de la transfo dépendent de l'histoire de l'évolution du référentiel K' via g(t).

Donc pour répondre à la question qui clôt ton post, je ne pense pas que ce soit utopique de trouver cette transfo, mais je pense que ça ne t'apportera pas grand-chose en pratique.

(désolé, ça fait un peu "j'ai pas de réponse alors je vais montrer que la question est idiote", mais c'est pas du tout ça que je veux dire
Je continue à réfléchir sur la question... )

[inviteb9b852ac]

Dans cette interprétation, je ne pense pas qu'on ait besoin a priori du fait que la vitesse v est constante, mais c'est peut-être précisément sur ce point que je me trompe.

Je pense.
La transformation de Galilée s'applique à des repères galiléens (à vitesse constante) et satisfait le principe de relativité (les lois sont les mêmes quelque soit le repère galiléen, enfin à basse vitesse, et pas d'autres).
La transformation de Lorentz généralise la transformation de Galilée pour satisfaire de plus la constance de la vitesse de la lumière.
Cette généralisation fait qu'à la base la transformation de Lorentz est valable uniquement pour les repères galiléens.
Donc à mon avis, ton problème revient à généraliser par la constance de la vitesse de la lumière des lois qui ne sont pas les mêmes selon que le repère est galiléen ou accéléré.
En résumé et en espérant que je suis pas trop à côté de la plaque.
Le mieux, reprendre le raisonnement d'Einstein dans "La relativité".

[invitea29d1598]

mais je pense que ça ne t'apportera pas grand-chose en pratique.

moi non plus...

Cette généralisation fait qu'à la base la transformation de Lorentz est valable uniquement pour les repères galiléens. Donc à mon avis, ton problème revient à généraliser par la constance de la vitesse de la lumière des lois qui ne sont pas les mêmes selon que le repère est galiléen ou accéléré.

c'est mon avis aussi... mais on peut se poser la question d'un point de vue purement mathématique, même si on sait que les transformations ainsi obtenues ne seront pas physiquement intéressantes. Mais même mathématiquement, je doute que cela donne grand chose (mais je me plante peut-être).

La relation (1) me parait assez logiquement pouvoir se réécrire:
(3) x' = g(t)(x-int(w(u).du, u=0..t), dans laquelle on exprimerait que
la vitesse mesurée est effectivement w(t), le facteur de contraction devenant dépendant du temps (en admettant qu'il soit lié à la vitesse instantannée).

plusieurs remarques:

- mathématiquement: les transformations de Lorentz (TL) unidimensionnelles (spatialement) que tu décris sont celles qui laissent invariant


ds² = c² dt² - dx² = c² dt'² - dx'²

ce qui est équivalent à laisser la vitesse de la lumière constante.

Or, si tu réfléchis aux transformations du plan qui laissent dl² = dx² + dy² invariant (les rotations d'un angle theta), tu comprendras facilement que l'on puisse montrer que les TL ne dépendent que d'un seul paramètre constant. Ce que tu proposes est donc l'équivalent spatio-temporel d'une rotation du plan où theta dépendrait de x (ou y). Ce qui veux dire que tu ne vas, a priori, pas laisser ds² invariant et donc ne pas laisser la vitesse de la lumière constante.

- autre chose mathématique: les TL forment un groupe. Cela est en grande partie dû à la symétrie entre K et K' qui sont tous deux inertiels. Ainsi, l'inverse d'une TL aussi bien que la composition de deux TL sont des TL. Pour les TG (transformations de Geof ) que tu proposes, tu n'auras pas cette symétrie mathématique. Pas toujours de transformation inverse par exemple. Pour voir un peu ce qui peut se passer, regarde le cas d'une particule accélérée de manière constante dans K. Tu pourras montrer que dans ce cas assez simple déjà il se passe des trucs amusants concernant les parties de l'espace-temps qui "perçoivent" la particule

- physiquement: comme cela t'a déjà été dit, si le référentiel ' est accéléré il n'est plus inertiel. Même si tu parviens à trouver les TG, tu ne pourras pas décrire du tout la physique dans ce référentiel...

[invitef6a8dd1c]

Pas nécessairement généraliser toutes les lois, mais il me parait "évident" (intuitif, mais c'est justement là le danger) que, si la lumière conserve la même vitesse quel que soit le référentiel, alors on devrait pouvoir l'exprimer par une transformation des coordonnées d'espace et de temps, à la façon de la transformation de Lorentz.
C'est ce qu'a fait Einstein en RG, si ce n'est qu'il l'a exprimée comme une déformation de l'espace-temps. Mais l'argument utilisé, au moins dans "La Relativité" (je suppose qu'on parle du même livre, droupi, mais je l'ai lu en anglais), ne me satisfait pas:
Il dit en effet que dans l'exemple du référentiel non galiléen qu'est un disque en rotation a vitesse angulaire constante, un observateur immobile situé sur le disque, mais pas au centre, ne verra pas un disque (le rapport circonférence-rayon n'est pas de 2.pi, du fait de la contraction des longueurs).
Mais c'est vrai aussi si l'on considère un observateur dans un référentiel galiléen, en mouvement par rapport à un disque (il n'est pas nécessaire qu'il tourne, cette fois).

Voilà, je me demandais donc si la déformation de l'espace-temps était nécessaire.
Je pense qu'elle l'est, car si l'on considère que la vitesse de K' par rapport à K est "uniforme" dans l'espace (w ne dépend que de t), et puisque 2 événements simultanés dans K ne le sont pas dans K', alors la vitesse w' de déplacement de K par rapport à K' dépend de t' mais aussi de x'. Il y aura donc une déformation de K', mais qui apparaît cette fois "naturellement".

Geoffrey

[invitef6a8dd1c]

Ce qui veux dire que tu ne vas, a priori, pas laisser ds² invariant et donc ne pas laisser la vitesse de la lumière constante.

C'est vrai pour une transformation linéaire, mais je ne suis plus dans un cadre linéaire.

Par contre, j'abonde dans ton sens en ce qui concerne la structure de groupe. Comme je l'ai dit précédemment, si une accélération est uniforme (dans l'espace) dans l'un des référentiels, elle ne peut pas l'être dans l'autre.

Tu pourras montrer que dans ce cas assez simple déjà il se passe des trucs amusants concernant les parties de l'espace-temps qui "perçoivent" la particule

Tu as des détails ? Ca m'intéresserait d'en savoir plus, avant de retourner à mes délires (tout relatifs )

Geoffrey

[invitea29d1598]

il me parait "évident" (intuitif, mais c'est justement là le danger)

oui

Il dit en effet que dans l'exemple du référentiel non galiléen qu'est un disque en rotation a vitesse angulaire constante, un observateur immobile situé sur le disque, mais pas au centre, ne verra pas un disque (le rapport circonférence-rayon n'est pas de 2.pi, du fait de la contraction des longueurs).
Mais c'est vrai aussi si l'on considère un observateur dans un référentiel galiléen, en mouvement par rapport à un disque (il n'est pas nécessaire qu'il tourne, cette fois).

mais dans le premier cas l'observateur est immobile par rapport au disque... ça me paraît une grande différence...

Il y aura donc une déformation de K', mais qui apparaît cette fois "naturellement".

ça veut dire quoi "naturellement"?

C'est vrai pour une transformation linéaire, mais je ne suis plus dans un cadre linéaire.

mea culpa...

en fait ce que tu cherches à faire est un cas particulier des transformations acceptables en relativité générale: on part d'un espace-temps de Minkowski et on fait un changement de coordonnées quelconque. Le seul truc, c'est qu'en RG tu fais toujours du local et tu travailles toujours avec la métrique. C'est lié justement avec ce que je te racontais sur le référentiel uniformément accéléré. J'ai plus en tête le résultat précis, mais si je me souviens bien, il y a une partie de l'espace-temps qui est causalement coupée de la particule accélérée. Je regarderais ça de plus près quand j'aurai le temps et te dirai mon résultat si t'as pas résolu le problème toi-même avant...

[invitef6a8dd1c]

mais dans le premier cas l'observateur est immobile par rapport au disque... ça me paraît une grande différence...

Effectivement... mais une différence que je n'ai perçue qu'au moment où j'ai posté. C'est en fait cette remarque qui me gênait, et qui est à l'origine de ma question sur la "TG".

ça veut dire quoi "naturellement"?

Et bien, l'idée de la déformation de l'espace-temps me paraissait un peu "parachutée", et je me demandais si elle ne pouvait pas être une conséquence directe de la "transformation de Lorentz", en postulant que la lumière a une vitesse constante (du moins en norme), quel que soit le référentiel, inertiel ou non, et donc en trouvant une expression plus générale de la transformation de Lorentz.
En en parlant, et comme je suis en train de lire les notes de Carroll sur la RG, je me demande si ça ne reviendrait pas à trouver un tenseur dépendant de la métrique, et qui correspondrait au tenseur de Lorentz dans le cas d'une métrique euclidienne... Mais je m'égare peut-être.

J'ai plus en tête le résultat précis, mais si je me souviens bien, il y a une partie de l'espace-temps qui est causalement coupée de la particule accélérée. Je regarderais ça de plus près quand j'aurai le temps et te dirai mon résultat si t'as pas résolu le problème toi-même avant...

Oui, ça m'intéresse. Ma réflexion m'a déjà permis de remarquer des choses intéressantes, par exemple que l'énergie cinétique n'est quelque part que l'expression de la contraction de l'espace-temps suivant la transformation de Lorentz...

Geoffrey