Les boules de Newton et conservation de l'énergie

[invite787dfb08]

Bonjour

Un petit casse tête pour mon niveau de première S, j'explique très mal le principe des boules de Newton : pour ceux qui ne connaissent pas, les 5 boules accrochées chacune à un fil : quand on lève une boule à une extremité et que l'on la laisse retomber, alors c'est celle de l'extrémité opposée qui s'élève....

J'ai calculé pour un de ces petits jeux l'énergie cinétique que gagne une boule si on lui fait faire un angle de 45 ° avec sa position d'équilibre avant de la relacher. J'en ai conclut que l'énergie potentielle de pesanteur était = à l'opposé de l'énergie cinétique, selon le principe de conversion d'énergie mécanique puisque toutes les forces dérivées dépendent de la position de la boule, les frotements de l'air étant bien sur négligés.

Donc la boule entre en colision avec une autre boule avec une certaine énergie mécanique. C'est ensuite la dernière boule de la chaine qui va "décoller", d'une hauteur présvisible qui est logiquement égale à la hauteur de laquelle on a laché la première boule, pour que l'énergie cinétique se dissipe en énergie potentielle de pensenteur, et rebelote dans l'autre sens.

On en conclut une transmission linérairee, horizontale de l'énergie mécanique dans les boules du mileuc, qui elle ne ressente aucun déplacement, ni même aucune vibrations....

Je ne comprend pas pourquoi les boules du milieu ne ressente rien, autrement dit pourquoi la première boule ne fait pas bouger l'ensemble des autres boules, et qu'elle ne fait bouger que la dernière. J'ai même fais l'expérience avec des pièces, en plaçant un stylo en équilibre sur la pièce du milieu. Je fait glisser une pièce qui heurtre celle du milieu, en faisant gicler l'autre, mais le stylo reste en équilibre (pourtant fragil).

Pourtant l'énergie mécanique doit bien transiter dans les boules du milieu ? Sous quelle forme ?

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[invitea3eb043e]

Tout ça repose sur un calcul très simple de conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement : quand une boule de masse m de vitesse v vient percuter une boule de même masse m et au repos, une solution est que la seconde boule parte avec la même vitesse que la première.
C'est ça qui se passe dans ton expérience. Imagine qu'il y a un tout petit intervalle entre les boules et tu te retrouves exactement dans le cas décrit ci-dessus, et la boule du bout n'a d'autre choix que de s'en aller.

[invite425270e0]

Bonjour Jean-Paul,

Cela signifie que si à la place de sphère on a des cubes, on observera un déplacement de tout les cubes en même temps?

Universmaster.

[invite787dfb08]

Certe

Le problème est qu'il nya a pas que deux boules, il y en a 5, donc 3 au mileu des deux qui se promènent
Logiquement d'après le principe de conservation de l'énrgie, ces trois boules doivent transmettre l'énergie de la première vers la dernière, je voudrais savoir comment
......

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite787dfb08]

Je répondai à Jean Paul dans mon post précédent......

[invitea3eb043e]

Je réexplique : tout ça peut se mettre en équations. Il faut que l'énergie et la quantité de mouvement se conservent (c'est l'hypothèse). Il n'y a qu'une solution.
Une solution est à l'évidence que la dernière boule reparte avec la même vitesse que la première ; comme il n'y a qu'une solution, c'est celle-là.
On peut faire des calculs compliqués mais ça revient à ça.

Mon explication se voulait intuitive car basée sur une observation qimple : l'échange des vitesses quand il n'y a que 2 boules. La 1 transmet à la 2 qui aussitôt transmet à la 3. Comme il n'y a pas de place entre les boules, on ne voit pas la 2 bouger, ça va trop vite sur trop peu de distance.
Si les boules sont cubiques, c'est pareil sauf qu'il y a des chances pour que le choc induise une rotation si l'impact est hors d'axe, ce qui complique les choses.

[invite787dfb08]

Une solution est à l'évidence que la dernière boule reparte avec la même vitesse que la première ; comme il n'y a qu'une solution, c'est celle-là.
On peut faire des calculs compliqués mais ça revient à ça.

Ca d'accord puisque c'est ce que l'on observe. Mais pourrait tu m'expliquer par des calculs comment l'energie mécanique traverse les trois boules centrale pour finalement arriver à la dernier qui "l'évacue" sous forme de mouvement, sans perturber un tant soit peu les trois boules du milieu.
Imagine que 'lon scotch les 4 dernières boules : on lache la première et les 4 boules en même temps, formant un système, vont s'élever. Alors pourquoi quand les 4 boules ne sont pas attachés est-ce qu'elle ne bougent pas les 4 en même temps...

J'avais d'abord penser qu'entre les trois boules du milieu il devait y avoir un tout petit espace permettant la transmission de l'énergie sous forme d'énergie cinétique entre les boules, mais j'ai réassayer en attanchant ensemble ces trois boules, seule la dernière remonte......

Voila ce qui m'intéresse c'est surtout une explication par le calcul du transfert d'énergie mécanique de la première à la dernière boule, sans influencer les trois boules du milieu.....

[invité576543]

Bonjour,

Mais pourrais tu m'expliquer par des calculs comment l'énergie mécanique traverse les trois boules centrale pour finalement arriver à la dernier qui "l'évacue" sous forme de mouvement, sans perturber un tant soit peu les trois boules du milieu.

Un premier point est que tu t'obnubiles sur l'énergie, alors que la quantité de mouvement est au moins aussi importante. Les boules centrales sont traversées par quelque chose qui véhicule une quantité de mouvement et une énergie.

Ce sont les deux conservations, de la quantité de mouvement et de l'énergie, qui contraignent les solutions. Les calculs en question portent sur 4 équations, 3 pour la quantité de mouvement et 1 pour l'énergie. Ici, deux des équations sur la quantité de mouvement sont très simples, celles portant sur les mouvements verticaux et latéraux. Restent deux équations. Plus sur le sujet à la fin de ce message!

Imagine que 'lon scotch les 4 dernières boules : on lâche la première et les 4 boules en même temps, formant un système, vont s'élever. Alors pourquoi quand les 4 boules ne sont pas attachés est-ce qu'elle ne bougent pas les 4 en même temps...

J'avais d'abord penser qu'entre les trois boules du milieu il devait y avoir un tout petit espace permettant la transmission de l'énergie sous forme d'énergie cinétique entre les boules, mais j'ai réassayer en attachant ensemble ces trois boules, seule la dernière remonte...

Tout à fait. Ce qui passe à travers les boules est une onde de pression élastique. Un son percussif si tu veux. Une telle onde élastique véhicule une quantité de mouvement et une énergie.

Une onde élastique est une déformation élastique de la boule. Si on pouvait mesurer instantanément et précisément le diamètre d'une boule intermédiaire, on constaterait une infime réduction du diamètre dans la direction du mouvement, pendant la durée très brève (donnée par la distance à parcourir divisée par la vitesse du son dans le matériau considéré) de la propagation de l'onde de pression.

Au moment du premier choc, toute la quantité de mouvement et énergie passe dans une onde de pression. A l'autre bout, l'onde de pression ne peut aller nulle part, elle est transformée en impulsion de mouvement du centre de gravité de quelque chose (la seule alternative étant de rebondir). Cela ne peut se faire qu'avec conservation de la quantité de mouvement et de l'énergie, ce qui impose à la fois la masse de ce qui se déplace et la vitesse obtenue après l'impulsion.

Des expériences complémentaires seraient intéressantes. Par exemple, imaginons que l'on ait trois boules de masse m d'un côté, trois boules de masse 3m/2 de l'autre. Alors, si on écarte puis lâche les trois boules légères, que va-t-il se passer?

Les équations sont les suivantes:

La q.m. conservée donne 3mv = m'v', avec m' la masse qui part et v' sa vitesse longitudinale (les autres composantes sont nulles);

L'énergie conservée donne 3mv²/2 = m'v'²/2;

Les deux équations permettent d'obtenir v'=v, et m'= 3m. Autrement dit, DEUX boules lourdes vont partir.

Question intéressante: que se passe-t-il si on lâche une ou deux boules légères

Cordialement,

[invite787dfb08]

Salut mmy

Merci bien pour ces exemples que j'essaie de m'éfforcer de comprendre pour pouvoir résoudre le problème de ta dernière question
Le seul problème c'est pour la quantité de mouvement. On na pas vue cette notion cette années en physique, et je ne sais pas trop comment on détermine une quantité de mouvement.

Après le principe c'est que dans un tel système la quantité de mouvement se conserve ?

Voila après quoi je pense que tout ira mieu.

[invité576543]

Bonjour,

Merci bien pour ces exemples que j'essaie de m'efforcer de comprendre pour pouvoir résoudre le problème de ta dernière question

La dernière question n'est pas vraiment facile!

Le seul problème c'est pour la quantité de mouvement. On na pas vue cette notion cette années en physique, et je ne sais pas trop comment on détermine une quantité de mouvement.

La quantité de mouvement c'est la quantité vectorielle obtenue en multipliant la masse par la vitesse vectorielle, pour un point matériel. Et donc la masse par la vitesse du centre de masse d'un solide,

Après le principe c'est que dans un tel système la quantité de mouvement se conserve ?

Dans tout système isolé la quantité de mouvement se conserve (somme vectorielle de toutes les quantités de mouvement). Tu l'as appris sans le savoir, c'est la notion d'égalité de l'action et la réaction (3ème loi de Newton); en effet, la force est un transfert de quantité de mouvement: l'égalité de l'action et de la réaction dit que le transfert est symétrique; le changement de quantité de mouvement de l'un est exactement l'opposé du changement de quantité de mouvement de l'autre.

L'utilisation de cette loi remplace l'utilisation de la conservation de la quantité de mouvement: c'est la raison pourquoi tu ne l'as pas encore vue explicitement. Mais la notion de force ne marche pas bien dans l'étude des percussions, ce qui est le cas des boules de Newton

Cordialement,

[invite787dfb08]

Ok ça s'éclaire

Donc pour la transmission d'énergie et de quantité de mouvement à travers les boules, il y a donc une onde élastique, une onde percussive.

Donc il y a légère déformation des boules, est-ce que ça n'entraine pas de perte d'énergie mécanique en énergie interne ? et donc par conséquent la boule qui remonte ne remontrait pas de la même variation d'altitude qu'à subit celle qui descendait (dans le cas ou il y a des boules au milieu.) ?

[invitea3eb043e]

En toute rigueur, la déformation élastique entraîne une perte d'énergie,mais on la néglige ici.
Essaie de refaire l'expérience avec un ensemble formé de :
- 1 petite boule qu'on écarte et qu'on lâche
- une grosse boule dont le centre est au même niveau
- 1 petite boule libre

Tu verras que la grosse boule ne bouge pas. En fait elle bouge un peu lors du premier choc et retransfère tout dès le second.

[invite787dfb08]

Oui effectivement c'est bien ce que j'observe.

Par contre encore une petite ambiguité :

La q.m. conservée donne 3mv = m'v', avec m' la masse qui part et v' sa vitesse longitudinale (les autres composantes sont nulles);

L'énergie conservée donne 3mv²/2 = m'v'²/2;
(post de mmy)

J'ai compri ta ralation 3mv = m'v', mais je ne comprend pas la suite pour l'energie conservée. Me manquerait il quelque chose ???

[b@z66]

Il ne manque rien dans le raisonnement. Toutefois, tu auras remarqué que mmy a fait l'hypothèse que les 3 premières boules s'arrêtait (vitesse nulle) après la collision et que les 2 qui partent étaient initialement immobiles. Les principes de conservation indiquent donc que la quantité de mouvement et l'énergie des 3 premières boules se retrouvent intégralement transférés au 2 boules qui "rebondissent". C'est cela que traduit les deux équations. Après, il ne reste plus qu'à résoudre ce système à deux inconnues (m',v') même s'il n'est pas linéaire.

Enfin, tu peux aussi voir la conservation de la quantité de mouvement à travers la tendance qu'ont les objets soumis à aucune force "externe" à garder la même vitesse dans la même direction. Si un évènement interne à l'objet (une explosion par exemple) fait qu'il se sépare en deux, les deux parties peuvent partir dans différentes directions avec différentes vitesses mais le centre de gravité de l'ensemble "explosé" continue à suivre malgré tout la même direction avec la même vitesse. C'est aussi une façon de voir la conservation de la quantité de mouvement.

[invite787dfb08]

d'accord je vais esayer sous peu l'application numérique.

Mais donc s'il y a déformation et donc perte d'énergie mécanique, alors même dans l'espace sans aucune frottement la système vas s'arrêter d'osciller à un moment ou à un autre ?

[b@z66]

d'accord je vais esayer sous peu l'application numérique.

Mais donc s'il y a déformation et donc perte d'énergie mécanique, alors même dans l'espace sans aucune frottement la système vas s'arrêter d'osciller à un moment ou à un autre ?

Le mouvement perpétuel n'existe pas malheureusement.

[invite787dfb08]

Bon alors je beug un peu sur la dernière question : si on lache une boule légère de masse 3/2 m alors que va-t-il se passer pour les trois boules de masse m ?

Donc soit la boule de masse 3/2 m qui heurte la premiere grosse boule avec une vitesse. Avec donc une variation d'énergie cinétique égale à 1/2 x 3/2m x v².

Notons que d'après le principe de conservation du mouvement : la quantité de mouvement qui va repartir sera égal. On note cette quantite m'v' avec m' correspondant à la masse totale qui va rerpartir et v' sa vitesse.

On doit résoudre donc :

1/2x3/2mxv²=m'v' ??????
Soit 3/4mv²=m'v'

mais comment rérsoudre ça puisqu'on ne connait ni m' ni v'

[b@z66]

Mélanges pas tout: énergie et quantité de mouvement. Chacune de ces quantités doit te donner séparément une équation. Tu dois donc en obtenir 2.

[invite787dfb08]

Ah oui très juste...

Donc si je lache une boule légère de masse 3/2m : j'ai
Varaition Energie cin = 3/4mv²
Quantité de mouvement = 3/2mv

Et concernant l'ensemble des trois boules lourdes, j'ai :
Variation Ec = 1/2m'v'²
Et Q.m = m'v'
en utilisant les notations précédentes.

Je dois donc résoudre
3/4mv² = 10/2m'v'²
et 3/2mv = m'v'

pour trouver m' et v' et ainsi savoir la masse qui va partir et à quelle vitesse, donc le nombre de boules qui vont partir.....

[invité576543]

Je dois donc résoudre
3/4mv² = 1/2m'v'²
et 3/2mv = m'v'

pour trouver m' et v' et ainsi savoir la masse qui va partir et à quelle vitesse, donc le nombre de boules qui vont partir.....

C'est ça (avec un 0 en moins...). Ca se résout facilement, en divisant terme à terme: les masses s'éliminent, cela donne v', et en réinjectant on trouve m'.

Et là, il y a une surprise! L'intérêt de l'exercice est de résoudre le problème qui apparaît alors. La clé est donnée dans le message de bz66, 15h34...

Cordialement,

[invite787dfb08]

Alors :

En fait si une boule masse m "tombe" sur un système de 3 boules de masse 3/2m, alors on obtient le système :

1/2mv² = 1/2m'v²'
mv = m'v'

par résolution on trouve v=v', et donc ensuite m=m'.

Donc comme la bille qui tombe est de masse m, il faut une masse m qui reparte, or les billes sont de masse 3/2m, donc la bille légère va probablement rebondir et repartir du même côté ??????

[invité576543]

Donc comme la bille qui tombe est de masse m, il faut une masse m qui reparte, or les billes sont de masse 3/2m, donc la bille légère va probablement rebondir et repartir du même côté ??????

Ben non, elle ne peut pas repartir en sens inverse en laissant toutes les autres immobiles, ça ne conserve pas la quantité de mouvement!

Cdlt,

[b@z66]

Alors :

En fait si une boule masse m "tombe" sur un système de 3 boules de masse 3/2m, alors on obtient le système :

1/2mv² = 1/2m'v²'
mv = m'v'

par résolution on trouve v=v', et donc ensuite m=m'.

Donc comme la bille qui tombe est de masse m, il faut une masse m qui reparte, or les billes sont de masse 3/2m, donc la bille légère va probablement rebondir et repartir du même côté ??????

C'est pas entièrement faux quand même. Comme il ne peut pas y avoir une bille de masse précise m à qui le mouvement est communiqué, cela veut dire que la quantité de mouvement va devoir trouvé un moyen de se répartir entre les deux billes existantes: la bille responsable de la collision ne va donc pas s'arrêter immobile d'un coup et le fait de supposer un rebond n'est pas vraiment faux.

[invite787dfb08]

Ben oui : supposons qu'on mette le même dispositif, mais que la bille rencontre un mur, elle va bien rebondir contre le mur ?

Sinon je n'ai pas de dispositif avec les billes chez moi, pas de chance je ne peux pas observer .
Donc je sèche : cela dit lorsque je refait le truc à plat avec des pièces, même en lençant doucement une petite pièce sur trois grosse, la troisième grosse bouge quand même ?????

[invité576543]

Bonjour,

Ben oui : supposons qu'on mette le même dispositif, mais que la bille rencontre un mur, elle va bien rebondir contre le mur ?

Oui, parce que l'inertie du mur est infinie ou presque: il y a bien échange de quantité de mouvement, mais comme la qm du mur c'est son inertie multipliée par la vitesse, le changement de sa qm, changement qui est réel, correspond à un changement de vitesse infiniment faible...

Donc je sèche : cela dit lorsque je refait le truc à plat avec des pièces, même en lençant doucement une petite pièce sur trois grosse, la troisième grosse bouge quand même ?????

La réponse est qu'il va y avoir à la fois rebond d'un côté et éjection de l'autre.

Mais on a alors 3 inconnues, et non 2: la vitesse de la masse incidente après rebond est une nouvelle inconnue. Dans le cas des boules de Newton classiques, on suppose sans le démontrer que la ou les boules incidentes ne rebondissent pas.

Cela rend le problème bien plus intéressant, parce que si on supprime l'hypothèse de non rebond (et on est obligé de le faire dans le cas de boules de masses distinctes) il n'y a plus unicité de la solution: on a trois inconnues pour deux équations.

Ce qui amène une question à laquelle je ne sais pas répondre, qui est: qu'est-ce qui détermine une solution plutôt que les autres?

Cordialement,

[invite787dfb08]

D'accooooord

Mais pour cette dernière question, est-ce que c'est simplment que tu ne sais pas ou alors que ce n'est pas encore expliqué par personne ?

Autre petite question :
on a 5 boules de masse m, on en lève 3 et on les laisse retomber :

On doit résoudre :

3/2mv² = 1/2m'v'²
3mv = m'v'

On obtient donc v'=3v et m=m'

Ce n'est pas possible puisque il n'y a plus que deux boules de masse m a ejecter.

Donc je note dès le début que m'= 2m, soit :

3/2mv² = 1/2x2mv'²
3mv = 2mv'

Ce qui nous donne v' = 3/2v

Donc on en conclut que les deux dernières boules de masse m après le choc vont s'élever avec une vitesse de 3/2v, ce qui donne une hauteur calculable après avec le travail du poids ???

Bon ou pas bon ????

[b@z66]

On obtient donc v'=3v et m=m'...

As tu vérifier que cela satisfaisait bien les deux équations?

En fait ce que l'on doit voir pour que la quantité de mouvement soit entièrement transmise d'une bille (ou ensemble de billes) à l'autre, c'est que les deux billes (ou ensembles de billes) doivent avoir la même masse, ce qui entraine aussi que la vitesse communiquée reste aussi la même.

[b@z66]

Mais on a alors 3 inconnues, et non 2: la vitesse de la masse incidente après rebond est une nouvelle inconnue. Dans le cas des boules de Newton classiques, on suppose sans le démontrer que la ou les boules incidentes ne rebondissent pas.

Oui mais alors...une des inconnues qui était la masse de la bille percutée n'en est plus une et on reste finalement avec le même nombre d'inconnues.

Cela rend le problème bien plus intéressant, parce que si on supprime l'hypothèse de non rebond (et on est obligé de le faire dans le cas de boules de masses distinctes) il n'y a plus unicité de la solution: on a trois inconnues pour deux équations.

Ce qui amène une question à laquelle je ne sais pas répondre, qui est: qu'est-ce qui détermine une solution plutôt que les autres?

Cordialement,

Il y a aussi dans ça la solution ou les vitesses des différents objets restent les mêmes entre avant et après: c'est le cas où il n'y a pas de collision. Toutefois, il ne doit pas y avoir de paramètres supplémentaires à prendre en compte (comme la conservation du moment) dans le cas où toutes les vitesses sont initialement colinéaires et pas d'autres solutions en conséquence (en dehors de celle évoquée plus haut): cela se saurait, si avec les mêmes conditions initiales, on observait à chaque fois différents scénarios. Ce n'est pas de la MQ après tout.

Toutefois, si on se représente le problème avec plus de deux billes, il est vrai que cela complique singulièrement la tache mais cela provient sans doute du fait comme tu l'as fait remarquer précédemment que pour simplifier le problème il faudrait considérer une infime distance entre chaque bille pour pouvoir analyser le problème en terme de collisions bille unique à bille unique. La situation finale correspondant alors à un régime établi.

[invite787dfb08]

En fait ce que l'on doit voir pour que la quantité de mouvement soit entièrement transmise d'une bille (ou ensemble de billes) à l'autre, c'est que les deux billes (ou ensembles de billes) doivent avoir la même masse, ce qui entraine aussi que la vitesse communiquée reste aussi la même.

Certes, mais si je lâche trois billes de masse m sur deux billes de masse m, alors les masse ne peuvent pas être les même, donc j'en conclut qu'il y aura aussi élevation d'un côté et rebond de l'autre côté ?

[b@z66]

Toutefois, si on se représente le problème avec plus de deux billes, il est vrai que cela complique singulièrement la tache mais cela provient sans doute du fait comme tu l'as fait remarquer précédemment que pour simplifier le problème il faudrait considérer une infime distance entre chaque bille pour pouvoir analyser le problème en terme de collisions bille unique à bille unique. La situation finale correspondant alors à un régime établi.

mmy, je précise la fin de mon dernier post: "à un régime établi au bout d'un temps infiniment court". Je pense maintenant que toutes les solutions que tu as évoqué précédemment (qui doivent leur origine à l'apparition d'un polynôme dans l'équation, à mon avis, et pas à une inconnue "inconnue") correspondent en réalité à tous les états intermédiaires possibles et imaginables entre l'instant de la première collision et l'instant du dernier état qui correspond lui au régime établi.