Conditions aux frontières dans le calcul variationnel

[Lévesque]

Bonjour,

Quand on dérive l'équation du mouvement d'un champ en extrémisant l'action, on utilise toujours le fait que la variation du champ est nulle à la frontière. Cela revient à l'image classique où l'on fixe le point de départ et le point d'arrivé, et qu'on demande quelle évolution nous fera passer de l'un à l'autre.

Dernièrement, un de mes profs (spécialiste de la physique numérique des matériaux) a demandé en classe si l'un de nous savais ce qui se passait si la variation du champ n'était pas nulle aux frontière. Il a avoué ne pas le savoir, et s'intéressait à la réponse (il a même promi des points à qui lui fournirait une réponse, nous invitant à en discuter avec nos profs de physique mathématique). De mon côté, je ne comprenais même pas la question, et après un peu de réflexion, j'avoue être toujours dans le noir.

Ce qui me bloque, c'est que dès le départ on souhaite analyser l'évolution d'un système entre deux points (ou événements). Dès lors, je ne comprends pas pourquoi quelqu'un voudrait une justification, dans la dérivation des équations du mouvement, de la non-variation du champ en ces points...

Quelqu'un peut-il m'éclairer?

Merci infiniment!


PS: si ça peut vous aider, il a parlé de matériau avec des conditions aux frontières périodiques... De mon côté, cette affirmation rend son questionnement encore plus obscure
-----

[Karibou Blanc]

D'une manière générale, si le champ n'est pas nul à la frontière, alors en plus de minimiser un terme de "volume", le principe de moindre action impose de minimiser un terme de "surface". En gros ca contraint les champs à satisfaire certaines conditions sur les bords, qui sont plus générales qu'une simple valeur nulle, par exemple on peut avoir des cas ou c'est la variation du champ qui s'annule et non le champ lui-meme. Cela peut meme etre plus complexe si il existe des champs localisés sur les bords.

On rencontre très souvent ce genre de chose dans les modèles de physiques des particules avec dimensions supplémentaires compactes.

[Lévesque]

D'une manière générale, si le champ n'est pas nul à la frontière, alors en plus de minimiser un terme de "volume", le principe de moindre action impose de minimiser un terme de "surface". En gros ca contraint les champs à satisfaire certaines conditions sur les bords, qui sont plus générales qu'une simple valeur nulle, par exemple on peut avoir des cas ou c'est la variation du champ qui s'annule et non le champ lui-meme.

Disons que, pour l'instant, je m'intéresse seulement à une variation du champ non-nulle aux frontières.

On rencontre très souvent ce genre de chose dans les modèles de physiques des particules avec dimensions supplémentaires compactes.

Pourrais-tu imaginer une dérivation des équations du mouvement, en extrémisant l'action, et qui ne considère pas nulle la variation du champ aux frontières? Si oui, alors il apparait clairement un terme en plus dans l'équation d'Euler-Lagrange. Quelle interprétation pourrait-on donner à ce terme. Un terme de flux?

Merci pour ton aide

[Karibou Blanc]

je m'intéresse seulement à une variation du champ non-nulle aux frontières.

Par variation j'entendais dérivée.

Pourrais-tu imaginer une dérivation des équations du mouvement, en extrémisant l'action, et qui ne considère pas nulle la variation du champ aux frontières?

Oui. Prends un champ scalaire tout simple, pour écrire l'équation du mouvement tu dois integrer par partie le terme cinétique, ce qui va te générer un terme de surface. Ce dernier devant également s'annuler pour satisfaire le principe de moindre action.
En volume l'équation du mouvement n'est pas modifiée, elle l'est seulement sur le bord.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Lévesque]

Bonjour,

en fait, physiquement, je suis presque convaincu que ça n'a pas de sens de considérer une variation non-nulle aux frontières. Le principe de moindre action, par définition, analyse les trajectoires passant par deux points. Si nous n'avons plus ces deux points, je ne vois plus ce que nous analysons. Je pense qu'il faut seulement y réfléchir un peu pour s'en convaincre.

D'autre part, Hamilton (pages 1 à 6)[*] considère lui-même une variation non-nulle aux frontières, mais il admet que cette idée est d'ordre purement mathématique :

if the points or bodies of a system be imagined to move from a given set of initial to a given set of final positions, not as they do nor even as they could move consistently with the general dynamical laws or differential equations of motion, but so as not to violate any supposed geometrical connexions, nor that one dynamical relation between velocities and configurations which constitutes the law of living force; and if, besides, this geometrically imaginable, but dynamically impossible motion, be made to differ infinitely little from the actual manner of motion of the system, between the given extreme positions; then the varied value of the definite integral called action, or the accumulated living force of the system in the motion thus imagined, will differ infinitely less from the actual value of that integral.

Hamilton utilise une variation des conditions frontières pour déduire de nouvelles relations mathématiques, mais pas pour décrire une situation physiquement réalisable.

Je persiste à croire que la question de mon prof, qui semblait avoir en tête des conditions frontières périodiques comme dans un crystal, fait seulement état d'une incompréhension. La condition aux frontières tient compte de tous les atomes du crystal (on a un ensemble de positions initiales et un ensemble de positions finales), et la périodicité de leurs position dans l'espace mène néanmoins à une condition initiale bien définie en un temps t pour le système tout entier décrit par un lagrangien L.

Qu'en penses-tu KB? Et les autres?

Cordialement,

Simon
[*] Voir aussi Marsden, Introduction to Mechanics and Symmetry, Springer (Chap. 7-8 )

[inviteb59aa1f3]

Bonjour, dans sa formulation habituelle, le principe de Hamilton consiste à se fixer un point de départ q1 à instant t1 et un point d'arrivée q2 à un instant t2 et, parmi toutes les trajectoires imaginables vérifiant ces conditions aux limites, à choisir celle pour laquelle l'action est stationnaire. Le principe nous dit qu'il s'agit de la trajectoire réelle. Les conditions aux bords sont souvent problématique dans les principes variationnels puisqu'il existe de nombreuses formulations et les hypothèses ne sont pas toujours explicitées. Les équations de Lagrange permettent de déduire le principe de Hamilton. Comme elles sont locales, elles n'imposent pas de conditions aux bords. Lorsque tu fais la démonstration du principe de Hamilton (ou de Fermat/Maupertuis, c'est pareil) à partir de Lagrange, les termes aux bords apparaissent explicitement à côté de la fameuse formule du principe. C'est la loi de l'action variable de Hamilton, plus générale que le principe. En pratique, on s'arrange pour annuler ces termes qui nous dérange, par exemple en supposant les variations nulles au bords, ou alors en supposant une évolution périodique dans le temps, ou alors en se plaçant en statique etc.