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Vitesse uniforme d'abaissement de l'eau dans un vase



  1. #1
    JBG76

    Vitesse uniforme d'abaissement de l'eau dans un vase

    Bonjour à tous !

    Voila j'ai un problème qui parait intéressant :

    Un vase présente la fomre d'un solide de révolution, autour d'un axe vertical tel image ci-jointe. Déterminer l'équation de la courbe méridienne OAB de façon que le niveau de l'eau , intialement versée dans le vase, s'abaissent d'un mouvement uniforme quand ce dernier se vide par un orifice inférieur , de section w , percé au point O.

    D'après vous , comment trouver cette équation ?

    -----

    Images attachées Images attachées

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  3. #2
    JBG76

    Re : vitesse uniforme d'abaissement de l'eau dans un vase

    J'ai essayé de traité le problème :

    d'après bernoulli, on a V=r.racine(2gH)
    avec r=coefficient pour la vitesse dans la section contractée puique V=racine(2gH) est la vitesse théorique
    H=h+h'+h'' où h est la hauteur réelle du liquide , h' est la hauteur fictive représentant la différence de pression p(0)-p(atm) ici nulle , et h'' la hauteur fictive représentant la vitesse V(0) dont on souhaite ici qu'elle soit constante
    d'où h''=H-h=V(1)²/2gr²-h avec V(1)=vitesse au point O , orifice.
    Mais à partir d'ici , je ne vois comment obtenir l'équation de AOB ...

    d'après bernoulli, on a en prenant point 0 en AB et point 1 en O
    z(0)+p(0)/w+V(0)²/2g=z(1)+p(1)/w+V(1)²/2g
    on veut alors V(0)=cst
    V(0)=V(1)+racine[2g(z(1)-z(0)+(p(1)-p(0))/w]
    Mais de même , je ne vois pas comment aller plus loin pour obtenir l'équation ...

    Merci pour votre aide

  4. #3
    JBG76

    Re : vitesse uniforme d'abaissement de l'eau dans un vase

    Nota: w= 1000kg/m3 x 9,81m/s²

  5. #4
    zapple

    Re : vitesse uniforme d'abaissement de l'eau dans un vase

    Je vais essayer de donner une réponse, mais j'avoue que je ne maîtrise pas très bien la mécanique des fluides.

    Supposons qu'au temps t = 0, la surface supérieur du fluide est en AB, et qu'au temps t, il soit au plan M'M. Je note O' le milieu du segment M'M, et C le milieu de AB. Soit H la hauteur de O à C et h la hauteur de O à O'.

    Je vais par contre supposé, ce qui est plausible, que la surface w est beaucoup plus petite que la surface W du niveau d'eau à la surface (i.e. en M'M par exemple), et on va donc négliger la vitesse du point O'.

    L'équation de Bernouilli entre O' et O donne :



    La pression étant la même en O et en O', la pression atmosphérique. D'où :



    L'équation de conservation de la masse entre O' et O donne (dh/dt est la vitesse du point O') :



    D'où l'on tire :



    soit:

    En intégrant, tu obtiendra h(t) , c'est l'équation du récipient. Je te laisse ce plaisir d'intégrer

  6. #5
    zapple

    Re : vitesse uniforme d'abaissement de l'eau dans un vase

    Petite erreur dans ma notation : h est la hauteur CO' et non OO' ...

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    JBG76

    Re : Vitesse uniforme d'abaissement de l'eau dans un vase

    c'était pas si compliqué que ca en fait ... je n'avais paps raisonné dans ce sens ... merci zapple

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  10. #7
    lynx2a

    Re : Vitesse uniforme d'abaissement de l'eau dans un vase

    rectification:
    moi je n'aborde pas le sujet de cette façon là.
    Je considère un débit q à l'instant t, le volume écoulé pendant le temps dt (soit V=Qdt=-Sdy=m*w*racine(2gy)dt avec S section du vase d'ordonnée y).
    On exprime S la surface du liquide en fonction de x, on va trouver dy/dt=cst (vu que le mouvement est imposé comme etant uniforme).
    On remplace S par sa valeur en x dans l'expression trouvée avec y (soit: V=Qdt=-Sdy=m*w*racine(2gy)dt)
    Puis on en déduit y en fonction de x ( y=f(x) ).

  11. #8
    skeptikos

    Re : Vitesse uniforme d'abaissement de l'eau dans un vase

    Bonjour,
    Désolé pour vous mais la forme d'un vase ne saurait influencer le débit.@+

  12. #9
    Lil00

    Re : Vitesse uniforme d'abaissement de l'eau dans un vase

    Citation Envoyé par skeptikos Voir le message
    Bonjour,
    Désolé pour vous mais la forme d'un vase ne saurait influencer le débit.@+
    Bonjour,

    En effet, ça n'influence pas directement le débit, puisqu'il dépend de la hauteur comme les brillants mécaniciens des fluides l'ont rappelé dans les équations ci-dessus.

    Mais la vitesse de descente de la surface, elle, dépend à la fois du débit et de la forme du vase. Donc indirectement, le débit à l'instant t dépend de la hauteur qui reste, donc du volume déjà écoulé, donc du volume du vase.

  13. #10
    sitalgo

    Re : Vitesse uniforme d'abaissement de l'eau dans un vase

    B'jour,

    Pour donner un exemple bien parlant, un pyramide (normale comme on voit en Egypte) de vide plus lentement qu'une pyramide inversée (pointe en bas comme une pyramide d'Egypte qu'on aurait construite aux antipodes).
    Mais si t'as l'gosier, Qu'une armure d'acier, Matelasse. Brassens, Le bistrot.

  14. #11
    lynx2a

    Re : Vitesse uniforme d'abaissement de l'eau dans un vase

    skeptikos il est vrai que peu importe la forme du vase au dessus de l'ouverture à considerer car on sait que le débit depend de la hauteur comme l'a déja mentionné Lil00, le debit est fonction de la vitesse et section par où le debit est à considerer, donc peu importe ce qu'il se passe au niveau de la géometrie du vase, mais là n'est pas le probleme posé.

    La problematique est la suivante: Déterminer l'équation de la courbe méridienne OAB de façon que le niveau de l'eau , intialement versée dans le vase, s'abaissent d'un mouvement uniforme quand ce dernier se vide par un orifice inférieur , de section w , percé au point O.
    Il s'agit donc simplement de determiner à quelle position en Y se trouve la courbe méridienne OAB en fonction de x. Et cela en considerant un mouvement uniforme donc avec dy/dt=constante. Je trouve donc cela, dite moi ce que vous en pensez
    J' exprime S la surface du liquide en fonction de x (S=Pi*x²), je remplace S dans l'expression:
    -Sdy=m*w*racine(2gy)dt
    -Pi*x²dy=m*w*racine(2gy)dt
    -(Pi*x²dy)/(m*w*dt)=racine(2gy)

    Puis on en déduit y en fonction de x ( y=f(x) ).
    y=-((Pi*x²dy)/(m*w*2g*dt))²

    on sait que dy/dt=cst (vu que le mouvement est imposé comme etant uniforme).
    y=-cst*((Pi*x²)/(m*w*2g))²

  15. #12
    lynx2a

    Re : Vitesse uniforme d'abaissement de l'eau dans un vase

    schemaexo2serie4-hydraulique.jpg
    En utilisant cette fonction sur excel je trouve cette courbe, qui correspond à la forme du vase.

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