Tunnel sous la Terre

[invited2477fc4]

Bonjour à tous ! j'aurais besoin de votre aide pour un exo de physique


énoncé:
On démontre que, pour tout point de masse m, situé à l'interieur de la Terre, à la distance X du centre C de la Terre, l'attraction terrestre est une force agissant sur ce point, dirigée vers le centre de la Terre et de valeur :

mg(X/R) ( R:rayon de la terre = 6.4x10^6 m et g = 10 m.s )

a) Quelle est l'énergie potentielle de pesanteur de la masse m à la distance X de C, en posant que cette énergie est nulle en C.

Ep(x) = mgX/2R


b) On considère un tunnel rectiligne ne passant pas par C et traversant la Terre. La masse m s'y meut sans frottement.
Déterminer la nature du mouvement de cette masse dans le tunnel, si elle est abandonnée, sans vitesse initiale, à la surface de la Terre.

On a un mouvement à un degré de liberté avec une force concervative :

dEm = dEp + dEc = 0
...
...
X°° + (mg/R)X = 0

c) Calculer la vitesse maximum de m dans ce mouvement. On donne la distance du tunnel au centre de la terre : CH = d = 5x10^6 mètres ...


je bloque sur cette question



Pouvez vous m'aider svp

Merci
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[invite8e7ad86a]

Bon je suis pas sur a 100% mais de ton point B tu peu voir que tu a un oscillateur harmonique de l equation X°° + (mg/R)X = 0 que tu connai peu etre mieu comme etant X°°=-kX et l on sai que la vitesse es egale a la racine de k/m ton k etan dan ton cas mg/R donc (mg/R)/m = g/R donc ta vitesse vau racine carree de (g/R) voila je pense que c es ca.

[invite8bc5b16d]

Salut,

a) Quelle est l'énergie potentielle de pesanteur de la masse m à la distance X de C, en posant que cette énergie est nulle en C.

Ep(x) = mgX/2R

Je vais mettre ca sur le compte d'une erreur de frappe !

b) On considère un tunnel rectiligne ne passant pas par C et traversant la Terre. La masse m s'y meut sans frottement.
Déterminer la nature du mouvement de cette masse dans le tunnel, si elle est abandonnée, sans vitesse initiale, à la surface de la Terre.

On a un mouvement à un degré de liberté avec une force concervative :

dEm = dEp + dEc = 0
...
...
X°° + (mg/R)X = 0

Petit problème d'homogénéite !
De plus avec une équation comme celle que tu as, de solution générale X=Acos(wt+phi), X s'annule, ce qui n'est pas possible.
Le problème vient du fait que la vitesse n'est pas égale à la dérivée de X, car le mouvement ne s'effectue pas selon un rayon de la terre.
J'ai essayé plusieurs méthodes pour essayer de minimiser le calcul, et je te conseille d'écrire l'abscisse x selon le tunnel en fonction de X, puis d'écrire que l'energie mécanique est conservée (en restant sous forme intégrée, c'est à dire Ec+Ep = cte). Je te laisse alors chercher comment retrouver une belle équa diff pour le moins ressemblante à celle que tu as trouvée

c) Calculer la vitesse maximum de m dans ce mouvement. On donne la distance du tunnel au centre de la terre : CH = d = 5x10^6 mètres ...


je bloque sur cette question



Pouvez vous m'aider svp

Merci

Alors là deux méthodes : résoudre l'équa diff pour exprimer la vitesse en fonction du temps et trouver sa valeur maximale.
Partir de l'expression de Em et trouver directement l'expression de la vitesse maximale.
(je les ai pas essayé donc je peux pas te dire laquelle prendre, d'autant plus que selon ton niveau tu sauras ou non résoudre l'équa diff (il me semble que ces équa diff ne sont pas au programme de lycée par exemple))

[invited2477fc4]

a) Ep(x) = mgX²/2R

b) x=Xcos(a)

Em = Ep + Ec = cte

(mg/2R).(cos(a)/x)² + 0.5m(cos(a)/x)°²

...

je ne vois pas trop ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8bc5b16d]

a) Ep(x) = mgX²/2R

b) x=Xcos(a)

Em = Ep + Ec = cte

(mg/2R).(cos(a)/x)² + 0.5m(cos(a)/x)°²

...

je ne vois pas trop ...

en ajoutant a tu ajoute une variable supplémentaire, ce qui n'est pas forcément une bonne idée. Il vaut mieux utiliser Pythagore avec d la distance minimale du tunnel au centre de la terre. En plus comme dans Ep et Ec ce sont des carrés qui interviennent, Pythagore te donnera directement la relation entre x² et X²

[invited2477fc4]

X² = x² + d²

et ensuite je remplace ?

[invite8bc5b16d]

X² = x² + d²

et ensuite je remplace ?

oui voila tu remplaces X² dans Ep, et tu écris que Ec = 1/2m(dx/dt)²

[invited2477fc4]

on obtient alors :

x°° + (g/R).x = 0

en posant w²=g/R

donc x(t) = Acos(wt)+Bsin(wt)
x'(t) = -Awsin(wt) + Bwcos(wt)

x(0) = A = R
x'(0) = Bw = 0 => B = 0

donc x(t) = Rcos(wt)
et x'(t) = -Rwsin(wt)

[invite8bc5b16d]

on obtient alors :

x°° + (g/R).x = 0

en posant w²=g/R

donc x(t) = Acos(wt)+Bsin(wt)
x'(t) = -Awsin(wt) + Bwcos(wt)

x(0) = A = R
x'(0) = Bw = 0 => B = 0

donc x(t) = Rcos(wt)
et x'(t) = -Rwsin(wt)

attention, x(0) n'est pas égal à R mais dépend de d .
Sinon avec ce que tu as trouvé la vitesse maximale ne doit pas te poser problème je pense !

[invited2477fc4]

x(0)=racine(6.4²-d²) soit ici x(0)=4.10^6

[invite8bc5b16d]

x(0)=racine(6.4²-d²) soit ici x(0)=4.10^6

voila c'est ca !!!

[invited2477fc4]

euh .. je trouve un temps de 72000 s soit 20min pour ateindre le point le plus proche de C

et il a une vitesse maximale a ce moment

Vlim = 5000m.s

[invite8bc5b16d]

euh .. je trouve un temps de 72000 s soit 20min pour ateindre le point le plus proche de C

et il a une vitesse maximale a ce moment

Vlim = 5000m.s

la vitesse limite je trouve la même chose, après j'ai pas calculé le temps correspondant, mais ce n'est qu'à moitié étonnant car n'oublions pas que de la surface au point le plus proche du centre il y a quand même 4000 km à parcourir !!!