Somme de grandeurs différentes mais normalisées

[stefjm]

Bonjour,

Je me pose une question bête:

Quand on travaille en unités normalisées (par exemple RG ou tout est exprimé en longueur), je comprend bien que cela ne pose aucun soucis pour les relations multiplicatives qui sont valables indépendament du système d'unité.

Qu'en est-il pour les relations additives?

Peut-on ajouter deux grandeurs de type différent une fois qu'elles sont exprimées dans la même dimension. (par exemple longueur)

Quelle est alors la signification physique de cette addition de grandeur de type différent?

Je sens que j'ai du raté un truc mais je ne vois pas quoi.
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[invite8c514936]

Salut,

Si tu exprimes les temps en mètres, ça veut dire que tu les multiplies par une même constante ayant la dimension d'une vitesse (par exemple la vitesse de la lumière). Le temps T1 + T2 s'exprime en mètres comme c(T1+T2) = cT1 + cT2, la loi de l'addition est donc bien vérifiée, tu peux additionner les temps exprimés en mètres sans problème...

Je sais pas si c'est ça qui te bloquait...

[stefjm]

Salut,

Si tu exprimes les temps en mètres, ça veut dire que tu les multiplies par une même constante ayant la dimension d'une vitesse (par exemple la vitesse de la lumière). Le temps T1 + T2 s'exprime en mètres comme c(T1+T2) = cT1 + cT2, la loi de l'addition est donc bien vérifiée, tu peux additionner les temps exprimés en mètres sans problème...

Je sais pas si c'est ça qui te bloquait...

Non. Ce n'est pas cela qui me bloque.

Dans ton exemple, tu sommes deux grandeurs de même types (un temps), exprimées en mètre par la relation multiplicative *c. Je vois bien la signification physique de l'opération, que ce soit en temps ou en longueur.

Là où j'ai plus de mal, c'est si on somme deux grandeurs de type différent. (par exemple un temps et une masse)

Exemple naïf :
Masse linéique
Vitesse

On peut additionner m/ml et v*t . (c'est une longueur)

En unités normalisées de longueur (v=1, ml=1), cela pourrait s'écrire


Là, j'ai plus de doute sur la signification physique de ce que j'écris.

Cette question m'est venue à la lecture de

http://fr.wikipedia.org/wiki/Masse_irr%C3%A9ductible

où il est question de

M^2 + Q^2
où M est Q sont respectivement la masse et la charge du trou noir dans le système d'unités usuel de la relativité générale.

Merci pour l'intérêt porté à la question.

[invite8c514936]

Là où j'ai plus de mal, c'est si on somme deux grandeurs de type différent. (par exemple un temps et une masse)

En physique, on n'additionne jamais des grandeurs différentes. Dans l'exemple que tu donnes, M^2 + Q^2 (d'ailleurs c'est pas plutôt M + Q^2 ?), qui intervient dans les trous noirs de Reissner-Nordström, ce sont en fait des grandeurs de même dimension, en l'occurence des longueurs, le rayon de Schwarzschild

et

la grandeur qui intervient dans la métrique, c'est la quantité sans dimension

En cas de doute, il faut revenir à ces expressions qui font intervenir toutes les constantes physiques !

[A voir en vidéo sur Futura]

[stefjm]

En physique, on n'additionne jamais des grandeurs différentes.

C'est bien ce qui me semblait.

Dans l'exemple que tu donnes, M^2 + Q^2 (d'ailleurs c'est pas plutôt M + Q^2 ?), qui intervient dans les trous noirs de Reissner-Nordström, ce sont en fait des grandeurs de même dimension, en l'occurrence des longueurs, le rayon de Schwarzschild

et

En fait, c'est d'après wikipédia:


Une telle relation (du moins son écriture en unité normalisée) donne l'impression qu'on peut additionner masse et charge puisqu'ils sont tous les deux exprimés en longueur.

la grandeur qui intervient dans la métrique, c'est la quantité sans dimension

En cas de doute, il faut revenir à ces expressions qui font intervenir toutes les constantes physiques !

Le cas des grandeurs adimensionnées est plus problématique : Dès qu'on a tout adimentionné, on peut tout additionner, sans aucun garde fou dimensionnel.

Ce pourrais bien être ma question suivante!

[invite8c514936]

Une telle relation (du moins son écriture en unité normalisée) donne l'impression qu'on peut additionner masse et charge puisqu'ils sont tous les deux exprimés en longueur.

Et c'est le cas. Il faut bien voir que tu n'ajoutes jamais la masse et la charge, tu ajoutes deux grandeurs de même dimension, l'une reliée à la masse et l'autre à la charge. Pour prendre un exemple plus courant, en électricité on ajoute des impédance proportionnelles à la résistance R et à l'inductance L, qui elles-même n'ont pas du tout la même dimension.

Le cas des grandeurs adimensionnées est plus problématique : Dès qu'on a tout adimentionné, on peut tout additionner, sans aucun garde fou dimensionnel

Non, c'est moins problématique : tu as le droit de les ajouter et tu n'as aucune question à te poser, justement !

[stefjm]

Et c'est le cas. Il faut bien voir que tu n'ajoutes jamais la masse et la charge, tu ajoutes deux grandeurs de même dimension, l'une reliée à la masse et l'autre à la charge. Pour prendre un exemple plus courant, en électricité on ajoute des impédance proportionnelles à la résistance R et à l'inductance L, qui elles-même n'ont pas du tout la même dimension.

Ok, je comprend ce que tu veux dire.
Il ne me serait jamais venu à l'idée d'écrire la relation

sous une forme normalisée (w=1)

Non, c'est moins problématique : tu as le droit de les ajouter et tu n'as aucune question à te poser, justement !

Je peux ajouter d/d0 et t/t0 puisque ce sont deux nombres mais la signification physique de cette addition n'a pas grand chose d'évident!

[invite8c514936]

Je peux ajouter d/d0 et t/t0 puisque ce sont deux nombres mais la signification physique de cette addition n'a pas grand chose d'évident!

En effet, et ça ne se présente pas comme ça en général, c'est plutôt les équations de la physique qui te donnent un résultat qui s'exprime sous cette forme, plutôt que "tiens, on a deux grandeurs sans dimensions, ajoutons-les !".

Il ne me serait jamais venu à l'idée d'écrire la relation (...) sous une forme normalisée (w=1)

Et en relativité, ça te serait plus venu à l'idée d'écrire la métrique sous la forme proposée par wikipedia ?

[invite69d38f86]

Quand on travaille en unités normalisées (par exemple RG ou tout est exprimé en longueur),
Peut-on ajouter deux grandeurs de type différent une fois qu'elles sont exprimées dans la même dimension. (par exemple longueur)

Bonjour,

En unités naturelles, on peut attribuer une dimension numérique aux grandeurs.
On prend souvent par définition dim(masse) = 1.
Dans ce systeme dim(longueur) = dim (temps) = -1
dim(surface) = -2
dim(vitesse) = 0
On ne peut ajouter des choses de dimension différentes telles qu'une masse et une longueur.
Certaines théories peuvent unifier plusieurs grandeurs comme pour l'espace temps si elles ont meme dimension.

[stefjm]

En effet, et ça ne se présente pas comme ça en général, c'est plutôt les équations de la physique qui te donnent un résultat qui s'exprime sous cette forme, plutôt que "tiens, on a deux grandeurs sans dimensions, ajoutons-les !".

C'est bien pour cela que je disais que c'était plus problématique.
Lorsque les grandeurs sont dimensionnées, on n'ajoute que des grandeurs de même dimensions.
Une fois que c'est adimensionné...

Et en relativité, ça te serait plus venu à l'idée d'écrire la métrique sous la forme proposée par wikipedia ?

Je ne suis pas sûr d'avoir bien compris la remarque.

[invite8c514936]

Je ne suis pas sûr d'avoir bien compris la remarque.

Tu dis que ça ne te serait pas venu à l'idée d'écrire les impédances électriques sous forme normalisée, dans une discussion portant sur la relativité, et ça donnait l'impression que tu trouvais naturelle l'écriture proposée par wikipedia, mais pas celle des impédances électriques, alors que c'est le même problème.

Après, c'était juste une sous-question et ça vaut surement pas la peine d'y passer des heures !

[stefjm]

Bonjour,

En unités naturelles, on peut attribuer une dimension numérique aux grandeurs.
On prend souvent par définition dim(masse) = 1.
Dans ce systeme dim(longueur) = dim (temps) = -1
dim(surface) = -2
dim(vitesse) = 0
On ne peut ajouter des choses de dimension différentes telles qu'une masse et une longueur.
Certaines théories peuvent unifier plusieurs grandeurs comme pour l'espace temps si elles ont meme dimension.

Intéressant, je ne connsaissais pas cette notion de dimension numérique.
Je ne vois pas pourquoi dim(longueur) = dim (temps) = -1 ?

J'imagine que c'est du à une relation du genre L=k/M ?

En relativité, la relation entre masse et longueur est plutôt du genre


Au vu de cette relation, j'aurais plutôt cru que dim(longueur)=1.

Il me manque le formalisme de cette notion de dimension numérique. Un lien peut-être?

Merci.

[invite8c514936]

Tout dépend du système d'unités choisi (bon, le lien entre dimension et systèmes d'unités est un peu plus subtil que ça, mais bon).

En physique des hautes énergies, on prend souvent hbar=1 et c=1, alors qu'en relativité on prendrait plutôt G=1 et c=1, ce qui donne des dimensions différentes dans les deux cas...

[stefjm]

Tout dépend du système d'unités choisi (bon, le lien entre dimension et systèmes d'unités est un peu plus subtil que ça, mais bon).

Un lien vers ce lien?

En physique des hautes énergies, on prend souvent hbar=1 et c=1, alors qu'en relativité on prendrait plutôt G=1 et c=1, ce qui donne des dimensions différentes dans les deux cas...

C'est bien ce qui m'avais semblé.

d'où si hbar=1, c=1

d'où si G=1, c=1

suivant le système d'unité!

D'après ce que dit alovesupreme, en relativité, on peut donc ajouter une masse et une longueur? (dim(masse)=dim(longueur)=1)

[invite8c514936]

D'après ce que dit alovesupreme, en relativité, on peut donc ajouter une masse et une longueur?

Encore une fois, ce que tu ajoutes ce sont deux grandeurs de même dimension reliées l'une à une masse et l'autre à une longueur. Si tu peux le faire, tu peux le faire en relativité ou en physique quantique.

Et re-encore une fois, on est très rarement dans la situation où l'on a une grandeur dans chaque main et on se demande si on peut les ajouter !

[stefjm]

Encore une fois, ce que tu ajoutes ce sont deux grandeurs de même dimension reliées l'une à une masse et l'autre à une longueur. Si tu peux le faire, tu peux le faire en relativité ou en physique quantique.

J'ai bien compris qu'il y a les coefficients avec les bonnes dimensions pour permettre l'addition. (Au passage, ce n'est pas maladroit d'écrire c=1 alors que la dimension de c reste une vitesse? )

Les dimensions numériques m'intéressent car en unité relativiste, il semble qu'on puisse ajouter des masses et des longueurs (moyennant l'utilisation des coeff) car dim(longueur)=dim(masse)=1

Alors qu'en dimension MQ, ce ne sera pas possible puisque dim(masse)=1 et dim(longueur)=-1.

Et re-encore une fois, on est très rarement dans la situation où l'on a une grandeur dans chaque main et on se demande si on peut les ajouter !

Disons que je m'intéresse au modèle formel que constitue l'analyse dimensionnelle.

Merci pour ta patience.

--
StefJM

[invite69d38f86]

D'après ce que dit alovesupreme, en relativité, on peut donc ajouter une masse et une longueur? (dim(masse)=dim(longueur)=1)

non: dim (masse) = 1
et dim(longueur)= dim(temps) = -1
on ne peut avoir de théorie les unifiant
je vais chercher un lien sur cette notion

[stefjm]

non: dim (masse) = 1
et dim(longueur)= dim(temps) = -1

Oui, oui.
C'est la dimension numérique, en MQ, quand on pose hbar=c=1.
On a alors

L=1/M

En unité relativiste, G=c=1, on obtient
L=M

Où alors, il y a un truc qui m'échappe?

on ne peut avoir de théorie les unifiant
je vais chercher un lien sur cette notion

Merci.
C'est une notion qui m'intéresse beaucoup.

[invite69d38f86]

J'avais posé une question sur ce fil : http://forums.futura-sciences.com/thread150399.html
Je pense Karibou Blanc serait le plus à même de répondre sur ce sujet
(j'avais pris dim(longueur) = 1 et il m'a fait remarquer que l'usage est plutot -1)

[invite69d38f86]

Je vais prendre la notation crochet.
On a [abcd] = [a]+[b]+[c]+[d] comme avec des logs.
Ce n'est pas une démonstration mais on peut voir que c'est cohérent si l'on pose [M] = 1 de poser alors [L] = -1.
Dans une transformation de fourier on a

pour une grandeur physique G ecrire consiste à ajouter .
Si G est une longueur on additionne ainsi un nombre, une longueur, une surface, un volume etc,
dans le cas dela transformée de fourier on a l'exponentielle de ipx ou p est une impulsion.
On a [ipx] = [i]+[p]+[x]
[i] = 0 (nombre)
[p] = [mv]= [m] + 0 = 1 par convention
donc la dimention numérique de ipx est 1 + [L]
si [L] = -1 alors la grandeur G = ipx est telle que [G] = 0
quand on écrit on ajoute des choses qui ont une meme dimension numérique nulle ce qui devient moins bizarre.
C'est pareil quand on écrit exp(px-Et).
J'utilise le terme dimension numérique je ne sais pas quel est le terme officiel.

[stefjm]

Je vais prendre la notation crochet.
On a [abcd] = [a]+[b]+[c]+[d] comme avec des logs.
Ce n'est pas une démonstration mais on peut voir que c'est cohérent si l'on pose [M] = 1 de poser alors [L] = -1.

Il me semble que cette notation crochet est une analyse dimensionnelle réduite.
J'ai une démonstration très simple que si on pose [M] = 1, alors on a [L] = -1.

On part des constantes c et hbar, en les considérant comme des nombres sans dimension.
[c]=0 et [hbar]=0

Je note L,M,T les trois dimensions classique de la physique. (Longueur, Masse, Temps)
Pour c:
[c]=[L/T]=[L]-[T]=0
[L]=[T]
C'est l'identification classique en relativité pour les longueurs et le temps, et pour l'énergie et la masse.
[Energie]=[M]=1

Pour hbar:
[hbar]=[ML²T^-1]=[M]+2[L]-[T]=0
[M]+[L]=0
[M]=-[L]
Il me semble que c'est bien la convention utilisé en physique des hautes énergies.

D'où en résumé:
[M]=1
[L]=[T]=-1


Le problème, c'est que cette analyse dimensionnelle numérique est restreinte à un domaine physique particulier. (ici hbar, c)

Si on fait la même en partant de c et de G, on obtient d'autres équivalences.

[G]=[M^-1L³T^-2]=0
-[M]+3[L]-2[T]=0
[M]=[L]

On a alors identification entre masse et longueur, en plus de celle avec le temps.

Dans une transformation de fourier on a

Je ne vois pas bien l'intérêt d'introduire la TF ici?
Si ce n'est que cela fait intervenir un terme px de la dimension de hbar, que je considère sans dimension dans ce post.

pour une grandeur physique G ecrire consiste à ajouter .
Si G est une longueur on additionne ainsi un nombre, une longueur, une surface, un volume etc,
dans le cas dela transformée de fourier on a l'exponentielle de ipx ou p est une impulsion.
On a [ipx] = [i]+[p]+[x]
[i] = 0 (nombre)
[p] = [mv]= [m] + 0 = 1 par convention
donc la dimention numérique de ipx est 1 + [L]
si [L] = -1 alors la grandeur G = ipx est telle que [G] = 0
quand on écrit on ajoute des choses qui ont une meme dimension numérique nulle ce qui devient moins bizarre.
C'est pareil quand on écrit exp(px-Et).

Je me suis toujours demandé ce que pouvait bien donner dimensionnellement parlant une exponetielle de grandeur physique.

On pourrait par exemple considérer que le n! qui apparait est de dimension n, ce qui n'est pas idiot en soit.
1 : dim 1
2*1 : dim 2
3*2*1 : dim 3
etc...

Pour le "i", on peut le considérer comme un nombre ou comme une grandeur physique. Il est alors de dim rad^-1 pour que le produit avec un angle soit sans dimension. (et passe sans difficulté dimensionnelle dans l'exponentielle)

J'utilise le terme dimension numérique je ne sais pas quel est le terme officiel.

Un lien vers cette notion? (J'ai lu celui sur la discution sur FS)

[invite69d38f86]

Si on fait la même en partant de c et de G, on obtient d'autres équivalences.

[G]=[M^-1L³T^-2]=0
-[M]+3[L]-2[T]=0
[M]=[L]

On a alors identification entre masse et longueur, en plus de celle avec le temps.

Je ne le "sens" pas bien ce [M]=[L]
l'as tu vu écrit qqpart?
On aurait pour l'action qqchose de dimensioné.
Il me semble que dans les formules physiques avec des exponentielles n'interviennent que des grandeurs telles que [G] = 0 comme avec exp(-E/température) qui légitime [énergie] = [température]

j'ai découvert cette notation dans des calculs de regularisation dimensionnelle.
On y élève des grandeurs a des puissances non entieres.
on a ainsi

[stefjm]

Je ne le "sens" pas bien ce [M]=[L]
l'as tu vu écrit qqpart?

http://www.astrosurf.com/luxorion/co...e-physique.htm

A priori, c'est quand on pose c=1, G=1.

On aurait pour l'action qqchose de dimensioné.

Pour l'action, j'avais comme dimension [M L2 T-1].
Ca me fait bizarre de considérer l'action comme adimensionnée.

Il me semble que dans les formules physiques avec des exponentielles n'interviennent que des grandeurs telles que [G] = 0 comme avec exp(-E/température) qui légitime [énergie] = [température]

j'ai découvert cette notation dans des calculs de regularisation dimensionnelle.
On y élève des grandeurs a des puissances non entieres.
on a ainsi

Non entière, c'est à dire fractionnaire? ou carrément irrationnelle?

[invite69d38f86]

non quelconque et pouvant tendre vers zero. on trouve ca en renormalisation dimensionnelle des diagrammes a boucles.
pour l'action je veux dire simplement [A] = 0