Rapport entre le potentiel vecteur et le photon

[invitea46d7942]

Bonsoir,

voilà, une question qui me tarode depuis pas mal de temps. J'essaie de faire le lien entre la description classique de l'électromagnétisme et sa description quantique. J'ai entendu dire et lu quelques fois que le potentiel vecteur était en fait la fonction d'onde du photon. Ceci est chaque fois dit ou écrit de manière très évasive, et ça me parait tout de même bizarre. J'ai cru comprendre également que les différentes composantes du quadri-potentiel (t,x,y,z) avait quelques choses à voir avec la polarisation du photon. J'ai également vu que la transformer de fourier du quadrivecteur pouvait être mis sous forme d'operateur de création et d'anihlation de photon. Bref, tout ça est bien vague, et je n'ai malheuresement pas le temps en ce moment d'étudier sérieusement l'électrodynamique quantique. Si quelqu'un pouvait au moins me dire de manière très qualitative quelques choses de clair à ce sujet, je lui en serais très reconnaissant.
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[BioBen]

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89l...ique_quantique
Regarde la lagrangien de l'interaction.
Le tenseur electromagnetique F s'ecrit grace au quadrivecteur potentiel de l'electromagnetisme A .
Tu le vois en "developpant" un peu le langrangien (ecrire la derivee covariant en terme de derivee partielle + terme de jauge ieA).

Grosso modo
Le premier terme Phi i gamma d Phi est la partie cinetique.
Le deuxieme terme est Phi gamma eA Phi
(Le dernier terme (1/4) FF represente le champs electromagnetique)

Si tu prends Phi comment etant un electron alors tu vois que le deuxieme terme te donne le vertex electron-photon-electron.

Je reponds a la question ou pas du tout ?

[invitea46d7942]

Je reponds a la question ou pas du tout ?

Merci, j'y réflechis quelques minutes et je te dis!

[invitea46d7942]

Non désolé, sur le moment, je n'arrive pas à saisir. Le probleme, c'est que j'ai un cours de physique des particules dans lequel le prof nous balance les formules un peu à l'arrache sans vraiment les justifiés. En même temps, vu le nombre d'heures qu'on a eu (c'est une UE mineur) , je pense que c'est un peu trop ambitieux de nous faire parcourir tout le modele standart en ayant l'espoir qu'on y comprenne quelque chose (il fallait voir le vide profond dans les yeux de chaques étudiants présent quand il a commencé à nous parler de la brisure de symétrie provoqué par le champ de Higgs )... Je pense que j'arriverais mieux à comprendre si je voyais comment on passe du lagrangien classique au quantique . Ce qui me surprend le plus dans le lagrangien, c'est la présence du psi et psi-bar. En gros, je m'imaginais grosso-modo qu'en remplaçant les quantités classiques par les opérateurs quantiques qu'ils représentent, ça allait faire l'affaire. Il faut que j'y reflechisse...

[A voir en vidéo sur Futura]

[BioBen]

Tiens si ca peut aider un tres bon pdf sur le modele standard (en anglais) :
http://arxiv.org/abs/hep-ph/0001283

Ce qui me surprend le plus dans le lagrangien, c'est la présence du psi et psi-bar.

Il faut trois pattes au minimum pour une interaction (c'est le cas de la QED, qui est une theorie en ie regarde ces diagrammes de feynman par exemple).
On a un terme cinetique, le terme du champs EM (FF/4),et le terme d'interaction e ou e reprenste l'intensite de l'interaction.

[invited741ff8c]

Hello,

J’aime bien ta question parce que j'ai quelques problèmes avec ça aussi. Dès lors qu’on aborde le lagrangien de la QED je décroche complètement donc je vais seulement parler de la quantification du champ électromagnétique « libre » c’est-à-dire sans particules (ce dont tu parles dans ton premier message).

Voici ce que j'ai compris, tout commentaire ou correction est fort bienvenu

Le champ électromagnétique est décrit classiquement par le quadrivecteur potentiel . On peut décomposer ce champ en somme continue d’ondes planes de fréquence et en somme discrète des deux polarisations transverses du champ, en clair, on fait une transformée de Fourier inverse :
.

La composante liée au potentiel électrique est nulle je crois parce qu’il n’y a pas de source.

Lorsqu’on quantifie le champ ce quadrivecteur devient un opérateur , il ne représente donc pas la fonction d’onde du photon.

Pour quantifier le champ, on peut partir du lagrangien de l’électromagnétisme où de l’énergie classique du champ EM

ce qui revient au même si on considère qu’il n’y a pas de sources ().

En utilisant la décomposition en modes du potentiel vecteur, on arrive à une décomposition en modes de l’énergie du champ classique EM qui ressemble à une somme continue d’oscillateurs harmoniques en faisant des changements de variables appropriés. C’est de là que vient l’idée, lorsqu’on quantifie le champ, d’introduire les opérateurs et exactement comme dans le traitement de l’OH quantique.
On aboutit à :


et une expression du potentiel vecteur avec des opérateurs de création et d'annihilation comme tu l'as mentionné que j'ai la flemme de taper.

Maintenant comment sont représentés les photons ?
Au début, j'avais compris que les photons n'étaient pas représentés par une fonction d'onde mais c'étaient les quanta d'énergie du champ (ie. les valeurs propres de H) qui étaient interprétés comme des corpuscules d'énergie et d'impulsion . Je trouvais et trouve toujours ça plutôt obscur.
Apparemment, on introduit une fonction d'onde qui représente un état à photons d'impulsion , photons d'impulsion etc. ce qui ressemble à une fonction d'onde. Donc je ne sais plus que croire...

Il me semble que pour l'interaction électromagnétique entre particules, il faut rajouter un terme d'interaction dans le lagrangien entre le champ EM et les particules chargées et puis aussi un terme décrivant ces particules. Pour l'histoire du psi, psi barre, je crois que ça vient de l'équation de Dirac pour décrire les électrons et les positrons parce que les fonctions d'ondes ne sont plus des fonctions d'ondes normales mais des spineurs c'est ça ?

Ouf, ce fut long, j'espère que ça t'a un peu aidé et que des gens viendront nous éclairer un peu plus.

JadA

[invited741ff8c]

Ah oui, malgré les relectures, j'ai oublié les carrés dans l'expression de l'énergie du champ mais tout le monde aura corrigé

[invitea46d7942]

Merci pour cette longue contribution.
Concernant le psi et psi bar, j'ai effectivement remarqué le lien avec l'équation de Dirac. Mais il y a quelque chose que je ne comprend pas. En gros , pour faire vite, l'établissement de l'équation de Dirac ne me pose pas trop de probleme, mais une fois qu'on l'a sous la forme:

(quelque chose) psi = 0

je ne comprend pas pourquoi on rajoute un psi barre

psi barre (quelque chose) psi = 0

Quest-ce que cela signifie ?

Puis, ce que je comprend encore moins, c'est qu'on dise ensuite:

Lagrangien de Dirac= psi barre (quelque chose) psi .

Ceci est pour l'instant assez incomprehensible pour moi, surtout que dans mon cour, on nous pose ça sans la moindre explication.

A Bio-Ben:
Merci pour les liens et les explications, malheureusement, le lien sur les graphes de Feynman ne marche pas.

[invited741ff8c]

OK, j'ai revu un peu mon cours et voici ce que je comprends :

L 'équation de Dirac est .

Lorsqu'on prend le conjugué hermitien de l'équation, si on veut la mettre de la forme

,on doit utiliser et pas l'adjoint tout court.

JadA

[invitedbd9bdc3]

On definit le lagrangien de Dirac (celon tes notations ) psibar()psi, car si tu utilises les equations d'Euler (en prenant psibar et psibar*dnu comme variables canoniques), tu obtiens l eq de D. en gros, on definit le lagrangien pour que ca marche!

PS : va vraiment falloir qu'on passe au latex si on veut etre comprehensible

[invitedbd9bdc3]

oups... il fallait lire dnu*psiibar et non psibar dnu...

[BioBen]

En passant, si ca peut aider
http://www-hep2.fzu.cz/~chyla/lectures/text.pdf
p117 et suivantes.