Distribution de Fermi dans la bande de valence, densité négative ????

[invite9f1cc1ef]

Bonsoir ou bonjour à celles et ceux qui liront à retardement ce post.

Avant toute chose, je suis conscient que ce topic paraît assez lourd mais il pose un problème qui me laisse plus que pantois.J'ai donc décidé de vous faire part de mon souci.

Voici de quoi il s'agit:

On s'intéresse à la densité d'état des électrons d'un semi-conducteur.
Je rappelle que ceux-ci peuvent exclusivement occuper

-soit la bande de conduction (BC) où l'énergie u est comprise entre et

-soit la bande de valence (BV) où

On a donc une répartition inégale des e- dans ces deux couches avec ainsi des e- dits manquants appelés trous.
(J'ai lu quelque part que ces quasi-particules se comportaient comme des charges positives mais là....)

On notera par la suite la constante de Planck réduite et la constante de Boltzmann.

On sait en outre que :

Dans la BC: (1)
Dans la BV: (2)

( étant la masse de l'e- et celle d'un trou)

Enfin, le nombre d'électrons par état est donné par la distribution de Fermi:



tandis que le nombre d'e- manquants s'écrit



Avec et niveau de Fermi.

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Mon problème intervient lorsque je souhaite calculer la densité d'états d'e- dans la BC et de trous dans la BV.

Pour la BC, aucun souci, on a, pour le module du vecteur d'onde k compris entre k et k+dk, le nombre d'états valant:



(avec V le volume du système)

ie, en utilisant (1) :



ce qui vaut par ailleurs

avec la densité d'états des e- dans la BC


On a donc naturellement




Jusque là, tout va bien.

Mes problèmes débutent lorsque je veux déterminer la densité d'état des trous dans la BV....

Le même raisonnement me conduit en effet à une densité valant



(J'utilise (2) au lieu de (1)

Est-il normal que cette densité soit négative?


A mon avis non et pour s'en convaincre il suffit de pousser un peu plus les choses et de calculer le nombre de trous par unité de volume (noté qui s'écrit sous forme de somme continue (les états étant suffisamment proches) comme suit :



Ce qui, d'après mes calculs, donne une entité négative ce qui pour le coup est carrément aberrant !!!

Donc voila, pour tous ceux qui ont eu la persévérance de lire ce post jusqu'à ce point (ce dont je vous suis reconnaissant), ce serait sympa de me donner votre opinion sur là où ma démarche coince (je vous en serait encore plus reconnaissant ).

La seule chose à laquelle je pense actuellement est le fait que les trous soient des particules de masse négative ( ) (pourquoi pas après tout??) ce qui renderait la densité d'état des trous, et donc , positifs, mais je ne m'avancerait guerre.... Qu'en pensez-vous?
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[LPFR]

Bonjour.
Évidemment que la densité d'états inoccupées dans la bande de valence n'est pas négative.
Et les trous n'ont pas une masse négative. Ceux qui ont une masse apparente négative ce sont les électrons qui occupent les derniers états occupés dans la bande de valence.
Vous avez fait, sans doute une erreur dans vos calculs. Ce qui est gênant est que ces calculs vous les avez mis sous "Le même raisonnement me conduit en effet à une densité valant".
Il serait peut-être utile que vous écriviez le raisonnement, même si c'est le même.
Je ne vois pas l'origine de votre signe moins. La seule différence entre vos équations 1 et 2 est que dans un cas vous avez (u – uc) et dans l'autre (uv - u). Mais cette différence est déjà dans le radical.
Au revoir.

[invite9f1cc1ef]

Salut LPFR merci de ta contribution.


En fait, le signe - provient du fait que dans la BV :
ce qui donne :


Le signe - va donc apparaître lorsque je différencie k pour passer de dg(k) à dg(u) :



En réinjectant cela dans l'expression initiale de dg(k) et en utilisant (2) pour écrire le k^2 en fonction de u, on arrive à l'expression donnée précédemment.
Donc oui, je suis sur de mes calculs.

Par contre,je pense avoir dégoté le hic ce matin (comme quoi le nuit porte consel):
je n'ai pas assez fait preuve de sens physique puisque dg est bien sur positif (nb d'états). On doit donc prendre la valeur absolue de ce que j'ai écrit dans le premier post , ce qui lève tout problème (le calcul final se fait sans pb et donne qqchse de positif : je le posterai ce midi, là jsuis à la bourre).

[invite9f1cc1ef]

Salut LPFR merci de ta contribution.

ERRRATUM:

bien sur, le treme du/hr n'est pas sous la racine

[A voir en vidéo sur Futura]

[LPFR]

Re.
D'accord je crois que c'est un problème de sens d'intégration et de différentiation.
Le signe moins dans dk veut dire que le sens de différentiation c'est vers de énergies plus grandes on va vers le bord de la bande de valence en venant du bas.
Même chose avec l'expression de dg(u). Comme quand u augmente la densité d'états augmente dans la bande de conduction, mais diminue dans la bande de valence. Dans l'expression de dg(u) =.... du, il doit avoir un signe moins pour la bande valence.

Si j'ai un conseil à vous donner, c'est de refaire la calcul à zéro pour la bande de valence en cachant le calcul pour la bande de conduction. Et surtout, ne pas utiliser la phrase "c'est comme avant", car parfois c'est comme avant mais avec un signe inversé.
A+

[invite9f1cc1ef]

Comme promis, je viens continuer ce topic

Re.
Dans l'expression de dg(u) =.... du, il doit avoir un signe moins pour la bande valence.

Si j'ai un conseil à vous donner, c'est de refaire la calcul à zéro pour la bande de valence en cachant le calcul pour la bande de conduction.
A+

Re -salut LPFR : je ne suis pas d'accord avec le fait qu'il y ait un signe moins dans l'expression de dg pour la BV.

Mathématiquement oui, je l'ai montré dans les posts précédents, dg est négatif mais seule sa valeur absolue a une réalité physique (en fait ce raisonnement est fait dans la loi de Planck sur le rayonnement du corps noir, à savoir le calcul donne un dg négatif mais dont on ne considère que la valeur absolue par la suite).

Je me permet donc d'insisiter et de persisiter dans la voie où je m'engageais puisqu'elle me donne des résultats plus que satisfaisants, c'est donc pourquoi je vous la soumet, histoire aussi de voir si il n'y aurait pas qqchse que j'ai raté.

Les calculs donnent donc, et ce indépendamment de ce qui se passe dans la BC:


densité d'états des trous dans la BV qui est bien positive maintenant.

D'où le nombre de trous par unité de volume :



Sous l' hypothèse simplificatrice (Uc-Uv)/2>>kT , on effectue alors les changements de variable nécessaires pour se ramener à


(ce qui vaut )


Au final, j'obtient donc, que:



ce qui correspond à la formule suivante que l'on peut facilement trouver dans la littérature :



Donc ça a plutôt l'air de marcher non?

[invite9f1cc1ef]

PS : Désolé j'ai oublié de préciser que l'hypothèse simplificatrice (Uc-Uv)/2>>KT devait être couplée au rappel suivant :
dans un semi-conducteur, le niveau de Fermi Ef se trouve dans la bande interdite au milieu de Uc et Uv.
Ce sont ces deux éléments qui permettent de se ramener à l'intégrale connue puisque permettent de transformer le terme 1/(1+exp(...)) en exp(...)

[LPFR]

Re.
Oui, je connais les hypothèses simplificatrices (c'est vieux, mais je m'en souviens). En fait, en passant dans le cas de semiconducteurs réels, le niveau de Fermi, n'est pas exactement au milieu de la bande interdite car la densité d'états Nv et Nc n'est pas la même dans les bandes de valence et conduction. Mais ça c'est un détail pas très important.
Quand au fait que ce soit la valeur absolue de dg qu'il faille prendre, je crois que cela dépend de ce que l'on fait. Que dg soit positif ou négatif avec dk positif inverse le sens de la distribution d'états. Le calcul de Boltzman est encore plus ancien et je ne m'en souviens pas du tout.
Mais ce que je n'ai pas compris es comment avez-vous résolu votre problème et retrouvé un fv positif. Qu'avez-vous changé?
A+

[invite9f1cc1ef]

Hello LPFR, désolé de ne pas avoir répondu plus tôt...


Alors résumons-nous un peu parceque c'est vrai que ça devient un peu confus...

Au tout début, mon problème était que la densité d'état des trous fv étant négative, je me retrouvais avec un nombre volumique de trous également<0
(ça c'est le premier post).
J'ai ensuite réalisé que la négativité de fv n'était pas grave (j'en ai d'ailleurs parlé autours de moi cet aprèm' et on m'a confirmé ce point) puisque représente des particules fictives.
Donc on a la densité mathématiquement négative (le calcul est formel) mais seule sa valeur absolue intervient dans le calcul intégral donnant le nombre total de trous par unité de volume.

Sinon ce que vous dites à propos de dg, à savoir:

Que dg soit positif ou négatif avec dk positif inverse le sens de la distribution d'états.

est pour moi une bonne remarque puisque c'est vrai qu'il faut être vigilant par rapport au signe de dk.Ici il est positif et le fait que dg inverse le sens de la distribution est même un bon signe. Les quasi-particules considérées ici (les trous) sont en effet "les symétriques" des électrons, tout cela semble se tenir...

Mais ce que je n'ai pas compris es comment avez-vous résolu votre problème et retrouvé un fv positif. Qu'avez-vous changé?
A+

Je n'ai rien changé à fv : il est effectivement négatif.
Mais le point crucial est le fait de seulement prendre |fv| dans l'intégrale car seule cette valeur porte "l'information principale de la densité d'états".
Auquel cas, on n'intègre plus un truc négatif et Ntrous devient positif, mieux, il correspond à une expression connue.

Donc en gros :

1: fv<0 pb car =>Ntrous<0
2: en fait fv peut-être <0 mais Ntrous se calcule avec |fv| et non pas fv
3:confirmation, on retrouve une expression connue

Je sais que je ne m'exprime peut-être pas au mieux mais dans ce cas, c'est assez dur de trouver les mots...
En tout cas, j'espère que cela s'est éclairci pour vous aussi, ma démarche étant assez alambiquée je l'admet, et merci beaucoup d'avoir participé à ce topic