Maxima d'un mouvement pseudo-périodique

[Seirios]

Bonjour à tous,

Pour un mouvement pseudo-périodique, avec pour conditions initiales et , on a l'expression :



On peut alors introduire les courbes d'enveloppe .

Apparemment, l'une de ces courbes intercepte la courbe de x pour .

Déjà, je ne vois pas pourquoi on n'aurait pas ?

Ensuite, le deuxième point qui me pose problème, c'est que les maxima ne correspondent pas à ces abscisses, mais on a , que l'on trouve en égalant la dérivée à zéro.

Pourquoi les ne correspondent-ils pas aux maxima, alors que dans l'expression de x(t), on retrouve une valeur maximale pour , soit pour , non ?

On devrait également avoir , mais je ne vois pas pourquoi ; quelqu'un pourrait-il m'en faire la démonstration ?

Voilà, quelqu'un pourrait-il m'éclairer ?

Merci d'avance
Phys2
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[invitedbd9bdc3]

Salut,

J'aimerai bien t'aider, mais tes questions ne sont pas tres clair pour moi.

On peut alors introduire les courbes d'enveloppe .

Apparemment, l'une de ces courbes intercepte la courbe de x pour .

Je ne comprends pas si tu parles juste des envellopes, et si c'est bien le cas, ce que tu appeles intercepter la courbe des x. Tu veux dire couper l'axe des abscisses? C'est a dire etre nulle? Dans ce cas l'envellope ne le fera jamais, vu que c'est une exponentielle.
Et le ressemble plus à un truc à mettre dans le sinus...


J'ai les meme resultats (et le meme probleme) pour trouver t_a, mais peut-être que ça sera resolvable quand on aura éclairci la premiere partie.

[Seirios]

Je ne comprends pas si tu parles juste des envellopes, et si c'est bien le cas, ce que tu appeles intercepter la courbe des x.

Effectivement, cela pouvait être ambigu ; en fait je parlais de l'intersection de la courbe de x(t) et de la courbe d'enveloppe supérieure. Donc on trouve en posant .

[mamono666]

Ah mon avis c'est parce que dire que le sinus vaut 1 n'est pas la condition pour maximiser la fonction.

Cela correpond à la condition qui nous donne les intersections avec l'enveloppe.

Mais celle ci ne passe pas par les maximums.

cf: http://img353.imageshack.us/my.php?image=plotcp8.jpg

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Si vous regardez le dessin de la courbe, vous verrez que les enveloppes ne touchent les "sinus" exactement aux sommets mais légèrement à droite. Ceci est du au fait que l'exponentielle est décroissante et doit être tangente aux oscillations. Donc, elle doit toucher à un endroit où la dérivée est négative (pour des valeurs positifs), c'est à dire, un tout petit peut plus loin que le maximum, où la dérivée est nulle.
Au revoir.

[invitedbd9bdc3]

Bonjour.
Ceci est du au fait que l'exponentielle est décroissante et doit être tangente aux oscillations. Donc, elle doit toucher à un endroit où la dérivée est négative (pour des valeurs positifs), c'est à dire, un tout petit peut plus loin que le maximum, où la dérivée est nulle.

je ne comprends pas bien l'explication, mais au moins j'aurais appris quelque chose aujourd'hui (car naivement j'aurais dis moi aussi que les maxima sont pour le sinus egale à 1).

[invite6dffde4c]

je ne comprends pas bien l'explication, mais au moins j'aurais appris quelque chose aujourd'hui (car naivement j'aurais dis moi aussi que les maxima sont pour le sinus egale à 1).

Re.
Oui, pour le sinus seuls oui. Mais quand ils sont multiplies par une fonction décroissante (ou croissante) non.
A+

[invitedbd9bdc3]

Oui, pour le sinus seuls oui. Mais quand ils sont multiplies par une fonction décroissante (ou croissante) non.

j'ai bien compris (et j'avais vu que les deux "methodes" ne donnaient pas le meme resultat), mais je ne vois pas d'explication "intuitive" pour comprendre ce resultat, c'est ce que je voulais dire.

[mamono666]

si je prend:



et



Pour tout t réel on a:



donc on voit que:

majore

Prendre le sinus égale à 1, nous oblige à fixer le t à

ce qui fait qu'on a bien:



c'est à dire que l'on a pris un élément des majorants. Sauf qu'entre et rien ne nous dit qu'il n'existe aucun autres points de plus grand que . (en gros rien ne nous dit que le sup est un max)

Pour être sur d'avoir le bon point, il faut donc chercher le max de et non le plus petit des majorants de inclus dans (car rien ne nous dit qu'il existe ou que ce sera bien le max, là est l'intuition).

[Seirios]

Si vous regardez le dessin de la courbe, vous verrez que les enveloppes ne touchent les "sinus" exactement aux sommets mais légèrement à droite. Ceci est du au fait que l'exponentielle est décroissante et doit être tangente aux oscillations. Donc, elle doit toucher à un endroit où la dérivée est négative (pour des valeurs positifs), c'est à dire, un tout petit peut plus loin que le maximum, où la dérivée est nulle.

Pourquoi l'exponentiel devrait-il être tangent aux oscillations ?

[invite6dffde4c]

Pourquoi l'exponentiel devrait-il être tangent aux oscillations ?

Bonjour.
Pour être l'enveloppe. C'est la définition même de courbe osculatrice.
Au revoir.

[Seirios]

Pour être l'enveloppe. C'est la définition même de courbe osculatrice.

Je n'ai rien trouvé sur Internet ; quelqu'un aurait-il un lien ou une petite explication ?

[invite6dffde4c]

Je n'ai rien trouvé sur Internet ; quelqu'un aurait-il un lien ou une petite explication ?

Re.
Vous pouvez essayer ces liens:
http://fr.wiktionary.org/wiki/osculateur
http://fr.wikipedia.org/wiki/Envelop...9om%C3%A9trie)
A+

[invite88ef51f0]

Salut,
Ta fonction est de la forme u(x)·sin(x) où u est l'enveloppe. Si tu dérives, tu vas avoir u'sin+usin'. Au maximum de ton oscillation (qui comme il a été dit n'est pas tout à fait le maximum de la fonction), tu as sin'=0 et sin=1, donc ta dérivée se ramène à u'. L'oscillation et l'enveloppe sont donc tangentes.

[Seirios]

D'accord, merci.

Je reviens vers la première question : on a bien , non ?

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Oui. Je suis d'accord.
Au revoir.