(Outil Mathématique) Coordonnées Cylindriques ?

[invite18a6df65]

Bonsoir à tous,

Je viens d'entrer il y a déjà quelques temps en première année de médecine. Certains éléments de mathématiques sensés être vu en Terminale sont supposés acquis or il arrive que ce ne soit pas le cas en fonction de la Spécialité choisie au Lycée !

Je viens de relire un cours de Mécanique en Physique où il est question de Coordonnées Cylindriques. J'ai lu et re-lu des documents expliquant ce système de coordonnées, étant apparemment comme le système polaire, élargi à la troisième dimension. Seulement, pas moyen de faire le lien avec mon TD !

Voici l'énoncé du TD (extrait):
On considère le mouvement d'un point M dans le référentiel ou le repère (i,j,k) est fixe. (je n'ai pas trouvé pour avoir la notation vectorielle des vecteurs unitaires sur le forum désolé !) On se place dans la base cylindrique (ur,uθ,k) associé aux coordonnées cylindriques (r,θ,z).

Q1. Exprimer le vecteur i dans la base (ur, uθ, k).
La réponse est censé être : i= cosθur - sinθuθ

Q2. Exprimer le vecteur j dans la base (ur, uθ, k).
La réponse est censé être : i= sinθur + cosθuθ

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Je n'ai pas saisi comment ces résultats étaient obtenus ! Qu'est ce qu'une base cylindrique ? Comment peut-on trouver la relation entre les vecteurs unitaire du repère cartesien et cette nouvelle base imposée ?

Merci d'avance !

Léo.
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[cedbont]

Bonjour,

si je comprends bien, tu ne visualises pas ce qu'est le système de coordonnées cylindriques. Bien, tu connais le système de coordonnées cartésiennes dans lequel on utilise un trièdre de vecteurs i, j et k. Dans ce système on note la position d'un point ainsi : (coordonnée suivant x, coordonée suivant y, coordonnée suivant z).

Imagine maintenant le même trièdre i, j et k auquel on va rajouter 2 vecteurs, ur et utheta dans le plan (i,j). ur est l'image du vecteur i dans le plan (i,j) par la rotation d'axe (O,k) et d'angle theta. De même utheta est l'image de j par la rotation d'axe (O,k) et d'angle theta. Réalise un schéma, pour mieux visualiser. Tu te rends compte que (ur, utheta, k) forme un trièdre. Dans le système de coordonnées cylindriques on repère un point M en projetant d'abord celui-ci sur le plan (i,j). L'altitude entre M et ce point est la troisième coordonnée de M dans ce repère. Ensuite, on fait pointer le vecteur ur vers le point M en effectuant une rotation de i d'angle theta. theta est la deuxième coordonnée de M dans ce repère. Enfin la distance (rayon d'où l'allusion au terme cylindre) entre le projeté de M et O correspond à la première coordonnée de M dans ce système de coordonnées.

Pour bien comprendre, je te conseille de dessiner les deux trièdres i, j et k et ur, utheta et k, avec un angle theta petit et d'exprimer chaque vecteur du trièdre ur, utheta et k en fonction de i, j, k et theta. Tu parviendras ensuite à faire ton exo.

[invite18a6df65]

Merci beaucoup pour ta réponse, elle éclaire en effet pas mal de choses qui m'étaient floues sur ce système de coordonnées. J'ai réussi à comprendre grâce à tes explications et une recherche faite sur les rotations vectorielles.
En fait j'avais des lacunes sur ce point et j'avais du mal à voir d'où venaient les cosinus et sinus.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Rotation_vectorielle

Cet article m'a aidé à comprendre, en plus de tes infos.

Merci !