Conjecture sur un chien qui marche ...
Un chien parcourt 12 km en une heure.
Que pensez-vous de la conjecture suivante :
Nous avons discuté cette énigme dans le forum infomath.online-talk.net ... j'ai voulu que ayez un peu de plaisir avec nous ...Il existe forcément un intervalle d'1/2 heure pendant lequel le chien parcourt exactement une distance de 6 km.
Enjoy it !!
Bonjour,
Théorème des accroissements finis
Bah en fait, non, c'est meme pas le theoreme des accroissements finis. Enfin, on n'en a pas besoin pour prouver que la proposition est vraieEnvoyé par humanino
Il y a incompatibilité entre le "exactement" qui est mathématique et la vitesse réelle du chien. C'est aussi faux que dire "Il existe une table carrée qui fait exactement 1m de coté".
Ca à l'air simple, rien qu'avec les mains...
La vitesse moyenne du chien est de 12 km/h, sa vitesse instantanée oscille donc autour de 12 km/h pendant une heure. De même sa vitesse moyenne sur une demi-heure va forcément osciller autour de 12km/h et donc passer par 12 au moins une fois...
m@ch3
Never feed the troll after midnight!
Oups ! j'avais pas vu la première ligne ! évidement si le chien court pendant une heure, en faisant "gliser" l'interval d'1/2h on trouvera forcément la condition. Mais une démontration solide est peut-être moins évidente.
C'est une indication très vague ... entre un peu dans le jeu, et tu verras.
et alors?
ça ne prouve pas qu'il existe un intervalle de 30min où le chien a exactement parcouru une distance de 6km!
désolé pour la 1ère ligne... j'ai du la mettre plus claire. Et comme j'ai pas le droit d'éditer un message posté ...
N'oubliez pas qu'il s'agit de vérifier si la conjecture est vraie ou non...
si...ça ne prouve pas qu'il existe un intervalle de 30min où le chien a exactement parcouru une distance de 6km!
en clair, il y a un intervalle de 30 minutes pendant lequel la vitesse moyenne est de 12km/h, donc cela fait 6 km parcourus pendant ces 30 minutes!sa vitesse moyenne sur une demi-heure va forcément osciller autour de 12km/h et donc passer par 12 au moins une fois
non?
m@ch3
Never feed the troll after midnight!
mach3: tes réponses sont trop vagues malheureusement ... si tu veux vraiment que je te suis et discute ce que tu postes, explique avec plus de détails ton raisonnement.
on ne sait rien sur la vitesse intantannée du chien... il a pu s'arréter pendant 30min et courir a 24km/h sur la demi heure restant ou même faire demi tour par moment...
si on note d(t) la distance parcourue depuis le départ.
d(0)=0
d(1)=12
sans connaitre la race du chien on peut supposer que d est continue.
soient U-={x dans [0;1/2] tels que d(x+1/2)<d(x)+6}
c'st l'image réciproque de l'ouvert ]-infini;6[ par la fonction continue x|--->d(x+1/2)-d(x). U- est donc un ouvert
de même U+={x dans [0;1/2] tels que d(x+1/2)>d(x)+6} est également un ouvert.
U+ et U- sont évidemment disjoints. comme [0;1/2] est connexe il ne peut être la réunion de ces deux ouverts (s'ils sont non vides*), donc F={x dans [0,1/2] tels que d(x+1/2)=d(x)+6] est non vide CQFD
(*) si U+ et U- sont vides le chien se déplace e la même façon durant chaque demi heure et chaque instant correspond à ce que l'on cherche
si l'un seulement est vide (sans perte de généralité , U-, c'est le même raisonnement pour U+) F ne peut être vide sinon U+=[0,1/2] ce qui impliquerait d(1)=d(1/2+1/2)>d(1/2)+6>d(0)+12 (car 0 et 1/2 appartiennent a U+) ce qui contredit l'hypothèse d(1)=12
je me suis permis de donner cette démonstration car je ne pense pas que ce soit celle ttendue pour des physiciens
oui, donc elle oscille bien autour de 12 dans ton exemple. Ce que je voulais dire pour préciser, c'est que si à un moment la vitesse instantanée est strictement inférieure à 12km/h, il existe forcément un moment où la vitesse est strictement supérieure à 12 km/h, sinon la moyenne ne pourrait être 12on ne sait rien sur la vitesse intantannée du chien... il a pu s'arréter pendant 30min et courir a 24km/h sur la demi heure restant ou même faire demi tour par moment...
je voulais juste montrer que c'est évident avec les mains, mais on dirait que je n'ai pas été convaincant, on va donc essayer d'aller un peu plus loin.tes réponses sont trop vagues malheureusement ... si tu veux vraiment que je te suis et discute ce que tu postes, explique avec plus de détails ton raisonnement.
j'y réfléchis et je poste ça
m@ch3
PS : doublé par o-b1 on dirait...
Never feed the troll after midnight!
En meme temps, si je donne une demonstration detaillee des le premier message, tu ne vas pas etre tres content.
Dans un message que j'avais commence a ecrire hier, j'avais suppose (comme n'importe quel physicien) d(t) lisse (c'est a dire, C-infinie). C'est une hypothese minimale en physique
Si on pose
- P(x) la position du chien en fonction du temps
- P continue
- les droites d'équation y= a+ (x*12)
Quelque soit a,supposer que P passe au dessus d'une de ces droites suppose qu'il repasse en dessous pour arriver à P(1h) = 12 km (puisque la droite passe par P(0) et P(1)).
Or comme la trajectoire est continue, parmi les points de contact entre une droite et P, quelque soit P il existe une droite tel que P(a+0.5)-P(a) = 6km
... en partant de a=0, vers celle qui n'a qu'un point commun avec P, on finit par tomber dessus puisque P est continue...
(= accroissements finis).
j'ai un peu de mal a comprendre j'avoue.. entre les phrase grammaticalement incompréhensibles, les concepts mathématiques mal utilisés (si P est une fonction, P(0) et P(1) sont des nombres), les assertions fausses non démontrées qui amènent sans raisonnement explicite au résultat...
je crois que j'ai compris ta méthode one eye jack...
j'y vois toutefois quelques failles.
tu considères des points qui sont en fait les solutions d'une équation dépendant d'un paramètre a.
mais 1) on ne peux pas savoir pour un a donné le nombre de solutions quand il y en a... il pourrait même être infini.
2)même en fixant a sur un intervalle tel que le nombre de solutions soit constant, il faudrait montrer que ces solutions dépendent continument du paramètre.
et petit détail, je pense que tu concluais ta démonstration par tle théorème des valeurs intermédiaires
Peux-tu m'expliquer un peu plus ce résultat? Il me semble incohérent ...
d est une fonction continue
la fonction
d2:[0,1/2]-----R
x|-----> d(x+1/2) l'est donc aussi
leur différence (d2-d) est par conséquent une application continue.
par définition topologique d'une application continue l'image réciproque d'un ouvert est un ouvert. ]-infini;6[ est bien un ouvert donc son image réciproque U- est ouverte.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Continu...nition_globale
Je crois que la methode que tu as utilise est tres elegante. Elle est tout a fait similaire a celle que l'on utilise d'habitude pour le theoreme de Rolle, dont le theoreme des accroissements finis decoule. Je pourrais poster une solution "a la physicien" avec le theoreme des accroissements finis, mais elle fait pale figure face a la tienne
Je n'ai aucun problème avec les ensembles ouverts ou fermés.
Tout ce que tu viens de citer ici je le connais ...c'est parmi les résultats les plus usuels de la topologie ... mais ce qui m'inquiète (si c'est correct d'ailleurs) c'est la question suivante :
Qui t'a dit que l'image réciproque de ]-oo;6[ est bien U- ?
Je peux aussi me permettre d'ajouter la propriété de "d" suivante:
"d" est une fonction croissante (pas strictement), pour la simple raison que la distance parcourue ne peut que croitre
U- étant défini comme l'ensemble des x tels que
d(x+1/2)<d(x)+6 <=>d(x+1/2)-d(x)<6
<=>(d2-d)(x)<6 (en reprenant la notation d2)
<=>(d2-d)(x) /in ]-oo,6[
<=>x /in (d2-d)^{-1}(]-oo,6[)
@huanino: je suis curieux de la démonstration physicienne de ce petit exercice, donc rien ne t'empêche de poster ta solution
THANX pour l'explication et pour la démo !
à part ça: comment résouds-tu le même exercice en utilisant le théorème des accroissements finis ? Je pense que la topologie a bien joué son rôle dans ta solution ... alors, fais nous plaisir avec le théorème des A.F
Ce la mérite effectivement quelques reflexions. Sans regarder le raisonnement des autres: je comparerais après:
La réponse pour moi est oui, car la vitesse moyenne du chien est de 12 km/h. Si donc on affiche à chaque instant la donnée :"distance parcourue lors de la derniere demi-heure", celle-ci oscillera forcément autour de 6 km, et le plus important, c'est que cette valeur évoluera obligatoirement de manière continue: Elle passera donc obligatoirement par 6 km.
j'ai pas trouvé de démo avec les accroissements finis (pour le moment) mais en voici une en utilisant les valeurs intermédiaires (c(est moins beau mais plus parlant pour des physiciens)
de la même façon on pose d la distance parcourue,
d(0)=0
d(1)=12
je pose ensuite f:[0,1/2]---->R
x|----->d(x+1/2)-d(x)
f(0)=d(1/2)
f(1/2)=d(1)-d(1/2)=12-d(1/2)
donc f(0)+f(1/2)=12
donc si f(0)<6 alors f(1/2)>6 (et inversement) donc par le théoreme des valeurs intermédiares si f(0)/not= 6 alors il existe a dans ]0,1/2[ tel que f(a)=6 (ce qui signifie que entre a et a+1/2 le chien a parcouru 6km)
si f(0)=6 alors le chien a parcouru 6km dans la premiere demi heure.
Désolé.
J'ai tendance à faire des raccourcis..
- A la place de "P(x)", il fallait lire "le point de coordonné (x;P(x))" (car effectivement, une droite ne passe pas par des nombres, mais par des points).
- A la place de "les points de contact entre une droite et P", il fallait lire
"les points de contact entre une droite et la représentation graphique de P (c'est à dire l'ensemble des points A(x,y) tel que y=P(x))"
- A la place de chien, il fallait lire "Canis familiaris"
- A la place des fautes d'orthographes, il fallait lire la même chose sans les fautes d'orthographes..
Votre démonstration est bien meilleurs que la mienne, j'ai jamais dit le contraire..
pour ceux qui tentent toujours de se pencher sur le problème, je pense qu'on pet supposer la fonction distance parcourue(euh c'est pas un spoiler qu'il faut étudier cette fonction j'espère^^) de classe C1 (sans perte de généralité):
si on en croit newton son accélération à chaque instant (dérivée seconde de la distance) est égale a la somme des force appliquées au système {chien}: gravité, action du chien, réaction du du sol à ces forces et probablement d'autre que j oublie mais qui sont parfaitement définies!
la dérivée seconde existant en tout point la distance est de classe C1 par contre il me sembe hasadeux de parier sur une régularité supérieure...
(en même temps des arguments de régularité suffisent!
PS: si des vrais phyqicien peuvent affirmer ou infirmer cette assertion (théorie mathématique que je ne maitriserais pas: radioactivité, relativité (générale et restreinte etc)
Je crois que tu vas chercher beaucoup trop loin
Comme le disait humanino, toutes les fonctions en physique sont sympa (?), meme un dirac (oui oui, c'est une fonction
). Donc la distance parcourue a toutes les propriétés necessaires (que tu veux, car c'est toi qui la caracterise
)
