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Problemes de forces non-conservatrices



  1. #1
    Csaba

    Problemes de forces non-conservatrices


    ------

    Mesdames, messieurs, bonjour.
    J'ai deux problemes, a mon avis, assez lies.
    Le premier est comme suit :

    ____<_____ Ceci represente un carre, dont le cote vaut d. Il est inscrit dans un
    | | repere Oxy. On nous demande Quelle quantite de travail est faite au-
    | ^ tour du chemin decrit par les cotes du carre, par la force
    | | F = A(y2î + 2x2ˆj)
    |___>_____|d avec î et ˆj etant les vecteurs unitaires de x et de y respectivement.

    Il est donc notable que les coordonnees X engendrent une force dans le sens Y et vice versa. A constant
    On nous demande en un premier lieu de faire le calcul par l integrale de lignes (anglais : line integral..), c est a dire integrer le chemin 0,0 -> 0,d Puis 0,d -> d,d jusqu'a revenir au point de depart 0,0. Ensuite, faire la meme chose en appliquant le theroem de Stokes.

    1. Si je definis Fx comme la force agissant dans la direction î et la force Fy comme la force agissant dans la direction ˆj
    Je peux dire
    [INT] Fx dx de 0,0 a 0,d = W sur le premier cote du carre
    [INT] Fy dy de 0,d a d,d = W sur la premiere paroi du carre
    - [INT] Fx dx de d,d a d,0 = W sur l autre cote du carre
    - [INT] Fy dy de d,0 a 0,0 = W sur l autre paroi du carre.

    En additionnant les W, je dois trouver Wtotal = Ad3
    J ai procede de la maniere suivante, et je n ai pas trouve ce resultat, si pouviez m indiquer ma faute, ca serait un grand soulagement
    2. Integrale generale de Fx dx = A(y3/3 + 2x2y) = *
    Integrale generale de Fy dy = A(y2x + 2x[EXP}3[/EXP]/3)= **

    J ai ensuite evalue * entre [0,0 ; 0,d] et -* entre [ d,0 ; d,d ]
    J ai ensuite evalue ** entre [0,d; d,d] et -** entre [ d,0 ; 0,0 ]

    Et je me retrouve soit avec -Ad3 soit 3Ad3 selon comment je remanipule le calcul. Je ne trouve pas l erreur.

    3. Par Stokes, je cale egalement. Stokes dit : (Grad x F)z * A = [int] F * dr = W
    J ai simplifie l integrale sur Stokes, car on sait que l aire est egale a d2
    Neanmoins, lors du calcul de (Grad x F)z j obtiens, (4Ax - 2Ay). Franchement, j'ai l'impression que ca ne veut rien dire dans ce contexte, et que j ai du rater mes derivees partielles, je n en sais rien, en tous cas, je bloque.

    ------------------------------------------------------------------------------------------------


    Autre probleme, lie au meme chapitre est le suivant :

    On sait qu'on a une barre de longueur fixe, sur laquelle se deplace un anneau de masse m, sans friction. La barre tourne a une vitesse angulaire w constante. Dans le mois precedent, j avais du demontrer que la solution generale pour le deplacement de l anneau le long de la barre est le suivant : r = Ae-bt + Bebt
    On revisite maintenant le probleme de la maniere suivante : Pour garder la barre a une vitesse angulaire constante, il faut une force externe qui agit sur le systeme. Le travail pour faire faire a la barre un tour complet ne sera donc pas = 0.
    En se basant sur la solution generale donnee dans l enonce, il faut verifier que le travail fait par la force exterieure pour un angle X est egale au changement d energie cinetique pour l intervalle de temps correspondant.

    L indice fournit est celui-ci : La seule propriete de la solution generale que vous devrez utiliser est que dr/dt = wr (surement du fait dr2/dt2 = w2r )

    1. Je ne vois absolument pas comment attaquer le probleme. Il me semble que l indice est erronne, en derivant une fois la solution generale on ne trouve pas dr/dt = wr et d autre part, je ne sais pas comment relier le travail et l energie cinetique.

    Une de mes pistes est que F * dr = m(dv/dt)*dr
    En multipliant par v des deux cotes j'ai : F* dr v = m(dv/dt)v*dr = 1/2 mv2*dr
    Je n'arrive pas a pousser plus loin.

    En esperant pouvoir benifier de votre aide precieuse, je vous souhaite une bonne journee a tous,
    Csaba

    -----

  2. #2
    LPFR

    Re : Problemes de forces non-conservatrices

    Bonjour.
    Votre erreur est dans la valeur de Fx=Ay² et rien d'autre et Fy=2Ax² et rien d'autre.
    Le travail dans les côtes bas et gauche du carrée sont nuls.
    Le travail sur le côté droit (montant) est 2Ax²d=2Ad^3
    Le travail sur le côté haut (vers la gauche) est -Ay²d=-Ad^3.
    Donc, le travail total est Ad^3.
    Au revoir.

  3. #3
    LPFR

    Re : Problemes de forces non-conservatrices

    Re.
    Et Stokes dit:

    Et c'est le rotationnel et non le gradient!
    Et ça donne le même résultat par Stokes.
    A+

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