Problème de Statique

[invitec60ddfa8]

Bonjour, je suis en train de traiter un exercice de mécanique du solide concernant la recherche d'équilibre d'une cuillère ( assimilé à une tige sans épaisseur) de masse m posée sur un bol.
La fin de l'exercice réside dans la détermination de l'angle alpha formé par la cuillère avec le bol hémisphérique.
Tout est représenté sur le schéma en pièce jointe.
C'est ainsi qu'on me demande ( et c'est là que je bloque), de trouver, à l'équilibre, une équation du second degré où X= cos alpha satisfait à cette équation.Et la résoudre.
Mais après de très nombreux essais, je n'arrive pas à trouver une équation du second degré qui tienne la route.
Alors je pense que ma méthode n'est pas bonne.
Voilà comment j'ai procédé:
J'ai projetté RO,Rb et mg sur leur axes correspondant à leurs lignes d'action respectifs( donc sur Yo,Yb et Y) et ensuite j'ai remplacé pces trois valeurs par leurs expression dans l'équation de la statique: Ro+Rb+ mg= 0
Mais j'imagine que ce n'est pas la bonne méthode et que ce n'est pas comme ça que je devrait m'y prendre.

Merci d'avance pour votre aide et pour vos réponses!
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[sitalgo]

B'soir,

Pour l'équilibre, il suffit de déterminer quand Rox et Rbx sont égaux.
Rox = Ro sina
Rbx = Rb cos2a
Mais Ro et Rb varient selon la position de G en fonction de a.
On peut connaître le rapport entre Roy et Rby :
Roy = P GB/OB
Rby = P OG/OB
=> Roy/Rby = GB/OG
On peut déterminer OB en fonction de a et GB est fixe.

A partir de là tu dois pouvoir trouver ton équation (je n'ai pas essayé).

[invitea84d96f1]

Très bel exercice de statique !
Salut,
Précisons d'abord…
- que la réaction R est perpendiculaire à la tige et
- que la réaction N est perpendiculaire à la circonférence
par l'absence du frottement.
La droite-support de N est donc un diamètre qui intersecte la droite-support de R en un point I situé sur la circonférence (triangle rectangle inscrit dans un demi-cercle).
Ensuite, puisque la tige de longueur 2L est en équilibre sous 3 forces P,R,N , les droites-supports de ces 3 forces doivent être concourantes en un seul point, I en occurrence (car les moments des 3 forces par rapport au point I sont tous nuls).
D'où la figure attachée.
Soit J l'intersection de la droite-support de P avec la circonférence. Le triangle IJB est rectangle en J (même raison que l'autre)
L'inclinaison de la tige vaut donc "a" aussi (2 angles inscrits pour un même arc capable OJ)
On a donc : IB.cos(2a) = GB.cos(a)
ou 2r .cos(2a) = L.cos(a)
ou 4rcos²(a) –Lcos(a) –2r = 0
ou 4rx² –Lx –2r = 0