Dualité Quantification Canonique et Integrale Fonctionelle?

[Thwarn]

Bonjour,

j'ai quelque quelques questions sur les relations entre la quantification canonique (QC) et l'integrale de chemin (ou IF dans ce sujet).
Pour commencer je resume ce que je sais (ou ce que je crois avoir compris), histoire de voire si c'est au moins claire à ce niveau là.
Pour la QC, que je maitrise bien mieux, j'ai bien compris qu'on impose des relations de (anti)-commutation à nos champs et on definit un espace des etats notés avec nos bons vieux ket. Avec les champs on peut obetnir divers operateurs (obtenus à partir du Lagrangien), comme la quadri-impulsion, le spin, etc. Quand on applique ces operateurs (diagonaux dans la bonne base, celle des excitations du champ, les particules), on obtient les differentes caracteristiques de nos particules, etc.
En rajoutant des interactions entre differents champs et les espaces des etats associés, je suppose qu'on doit pouvoir trouver des etats liés (tout comme on doit pouvoir traiter de l'atome d'hydrogene en seconde quantification, non?)

Dans le cas de l'IF, on integre cette fois le champ (dans le cas d'un champ libre), qui est une fonction classique (ou de grassman dans le cas de fermion) sur toutes les configurations possibles, avec un point qui correspond à Exp iS, ou S est l'action du champs. Mais dans tout ça, il n'y a plus d'etat (dans le sens de vecteur de l'espace de hilbert), non? Quand on integre sur les champs, on ne parle plus de un photon ici ou d'un electron la. Encore que je ne suis meme pas sur de savoir comment definir l'equivalent de <out|in> du cas QC dans le formalisme de l'IF. Une idée?
Par contre je sais comment ecrire (au moins formellement) l'equation de Dyson pour un propagateur...

Tout ça pour dire que d'apres ce que j'avais compris, en IF, le champ d'un boson est juste une fonction toute bete sur laquelle on integre et que ce qui est quantique c'est juste le fait qu'il y ait des boucles et des corrections de ce genre. Si c'etait classique on s'arreterait au champ moyen. C'est vrai?
Et comment definit on un etat lié en IF, que calcule-t-on?

Bon, je pense que c'est deja assez confu et qu'il y a bien des erreurs a reprendre avant que je passe à mes autres questions (sur la brisure de symetrie).

J'attends vos reponses avec impatience,

Merci,
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[Thwarn]

je fais un petit up, je suis sur qu'il y a des gens qualifiés pour repondre à mes questions sur ce forum

[gatsu]

Bonjour...

Salut,

Je ne pense faire parti des gens qualifiés mais je participe quand même .

Je pense aussi que tu as globalement compris l'intéret de l'IF (en particulier le développement perturbatif systématique, l'absence d'opérateurs etc...) en TQC.
En ce qui concerne le calcul d'élement du genre <out |in> normalement tout peut être fait à partir de la fonctionnelle génératrice que tu utilises tout le temps pour calculer les propagateurs, les equations de Dyson également etc... autrement dit il me semble que tu n'as qu'à faire des dérivées fonctionnelles et le tour est joué.

[mariposa]

je fais un petit up, je suis sur qu'il y a des gens qualifiés pour repondre à mes questions sur ce forum

Je veux bien essayé de répondre mais il y a beaucoup de questions.

J'essaie une réponse courte.

En canonique le point de départ c'est l'équation de Schrodinger qui met en avant le concept d'énergie (l'hamiltonien) dont l'application est le calcul des spectres d'énergie et les effets de perturbation etc..

En intégrale de chemins le point de départ c'est l'opérateur d'évolution c'est l'intégration temporelle formelle de l'équation de schrodinger.

Dés que l'on prend les éléments de matrices en representation {|r>} de l'opérateur évolution on obtient quelque chose qui est à la fois des fonctions de Green à 2 temps qui renvoient immédiatement à la théorie de la réponse linéaire et ses applications, mais également quelque chose qui ressemble à un processus de Markov sur les amplitudes.

Ce dernier nous renvoie donc à tous les outils relatifs au chaines de Markov et l'application de Chapmann-Kolgoromov nous donne tout droit l'expression classique de l'intégrale de chemins.

L'intégrale de chemins c'est en fait la même que la diffusion multiple en optique classique ce qui présente un certain intérêt puisque fournissant un système analogue à l'optique qui parait un peu plus familier.

Un avantage très original dans une optique très physique théorique sont les aspects topologiques que l'on ne retrouve pas dans la formulation classique. C'est à partir de ce point de départ que Witten et d'autres ont développé la théorie topologique des champs qui ont des applications en physique solide. Notamment l'effet Hall quantique Fractionnaire.

Plus largement les intégrales de chemin se couplent avec les espaces fibrés (donc la cohomologie, la théorie des noeuds etc...)ce qui permet de formuler des problèmes du genre RG + MQ impossible à écrire en version hamiltonienne..

En fait les 2 approches ont leurs avantages et leurs inconvénients. toutefois j'observe que les physiciens du solide commence à s'intéresser un peu plus qu'avant à l'intégrale de chemins. Il n'en reste pas moins que pour le problème à N corps c'est l'approche hamiltonienne qui l'emporte, au moins aussi longtemps que n'apparaissent pas des problèmes de topologie.

En bref j'ai surtout parler d'intégrale de chemins mais il aurait fallu pour équilibrer parler autant de l'approche hamiltonienne qui a des avantages spécifiques, comme les transformations canoniques.

De la même façon j'ai ignorer les avantages techniques, par exemple concernant la théorie des perturbations.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Thwarn]

En ce qui concerne le calcul d'élement du genre <out |in> normalement tout peut être fait à partir de la fonctionnelle génératrice que tu utilises tout le temps pour calculer les propagateurs, les equations de Dyson également etc... autrement dit il me semble que tu n'as qu'à faire des dérivées fonctionnelles et le tour est joué.

J'ai un peu du mal à m'en convraicre, et il faut croire que j'ai loupé la page du Peskin où il fait la connexion (dans ce que j'ai lui, il s'en sert juste pour trouver les regles de Feynman ou pour trouver les propagateur sans fixer les jauges).
Autant dans le cas QC, je vois bien ce que represente <0|phi1phi2|0>, au niveau operatoriel et espace de hilbert. Autant en IF, j'ai du mal a voir ce que represente un champ, vu qu'il n'y a pas d'état ou d'operateur. Pour le propagateur, on peut le voir comme le calcule de la correlation du champ en des points differents, mais le champ ne represente pas un ou deux electrons, mais juste le champ electronique. Dans ce cas, qu'est ce que c'est? Le champ en soit n'a pas d'energie, d'impulsion ou autre...

Ou alors j'ai vraiment rien compris

Et il reste toujours la question des états liés...

[gatsu]

J'ai un peu du mal à m'en convraicre, et il faut croire que j'ai loupé la page du Peskin où il fait la connexion (dans ce que j'ai lui, il s'en sert juste pour trouver les regles de Feynman ou pour trouver les propagateur sans fixer les jauges).
Autant dans le cas QC, je vois bien ce que represente <0|phi1phi2|0>, au niveau operatoriel et espace de hilbert. Autant en IF, j'ai du mal a voir ce que represente un champ, vu qu'il n'y a pas d'état ou d'operateur. Pour le propagateur, on peut le voir comme le calcule de la correlation du champ en des points differents, mais le champ ne represente pas un ou deux electrons, mais juste le champ electronique. Dans ce cas, qu'est ce que c'est? Le champ en soit n'a pas d'energie, d'impulsion ou autre...

Ou alors j'ai vraiment rien compris

Et il reste toujours la question des états liés...

Précisément le cas QC aide à comprendre la quantification des champs electronique, neutronique, electromagnétique etc...
Et expriment les particules associées comme des modes d'excitations du champ i.e. des oscillateurs.
Dès lors un champ physique peut toujours semble-t-il être décrit par un ensemble d'oscillateurs avec des contraintes statistiques à respecter.
Si tu fais ça avec une chaine linéaire d'oscillateurs tu tombes naturellement sur l'action d'un champ scalaire par exemple (correspondant à l'equation de Klein-Gordon).
Je dirais donc que l'action "scalaire" que l'on écrit en argument de l'exponentielle dans l'intégrale de chemin peut finalement être interprétée comme une limite continue d'un champ d'oscillateurs compte tenu du fait que l'on sait cette image valide par la QC.

Bon après c'est une interpretation qui me vient comme ça et qui me plait bien mais bon je suis pas un spécialiste.