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Volume maximal



  1. #1
    Nounet

    Volume maximal


    ------

    Bonsoir,
    Je ne sais pas comment faire pour résoudre cet exercice :s
    "Un fabricant de cannettes de bière désire n'utiliser que 170 cm² d'un feuille mince d'aluminium pour construire une cannette cylindrique fermée.Il n'ya pas de chutes d'aluminium.
    a/ quelles doivent etre les dimensions de la cannette pour contenir un volume maximal?
    b/ quel est le volume maximal?
    Merci

    -----

  2. #2
    zoup1

    Re : Volume maximal

    Ce que tu cherches c'est le le volume maximal pour une surface fixée.
    La liberté que tu as, c'est de faire une cannette plus ou moins haute, ce qui va caractériser cela c'est par exemple le rapport d'aspect (r = h/D) rapport de la hauteur sur le diamètre.
    Il faut ensuite que tu exprimes le volume du cylindre en fonction de r seulement (et de la surface S).
    Ensuite tu dérive tout cela par rapport à r (à S fixé) pour chercher les valeurs extrêmes du volume à S constant.
    Je te donne une idée, tu me donnes une idée, nous avons chacun deux idées.

  3. #3
    niclemad

    Re : Volume maximal

    V=Pi*R²*h
    S=2Pi*R²+2Pi*R*h
    soit r= R/h

    il faut exprimer R et h en fonction de S et r

    h=[S/(2*Pi*R)]-R

    h=[S/(2*Pi*r*h)]-r*h

    en multipliant par h:

    h²+rh²=S/(2*Pi*r) donc h²=S/[2*Pi*r*(1+r) ]
    or R=rh donc R²=[S*r]/[2*Pi*(1+r)]

    donc V=racine[(S^3)/(8*Pi*(1+r)^3)]

    il suffit d'étudier la fonction f(r)=k*racine (r/[(1+r)^3]) k est une constante

    le numerateur de f' est noté N

    N(r)=(1+r)^3-3r(1+r)²
    N(r)=(1+r)²[1-2r] soit N(r)=0 implique rmax=1/2 (on peut demontrer qu'il s'agit effectivement d'un maximum mais on le voit graphiquement)

    donc r=R/h=0.5

    S=2Pi*R²+4Pi*R² car h=2R
    S=6Pi*R² donc R=environ 3.00cm h=environ 6.00cm
    cela fait un volume V=environ170cm^3

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