Maximal / maximum

[invite1237a629]

Plop

Merci de regarder ces sujets similaires avant d'en commencer un nouveau.

Bon, j'ai regardé, aucun ne correspond

Je voulais savoir quelle était la différence entre un maximal et un maximum dans un ensemble ?

- Les deux appartiennent à l'ensemble (pas comme un majorant)

- Pour le maximal, la définition dit que N est maximal dans E si pour tout e appartenant à E , et tel que e < N, alors e = N

Pour le maximum, on dit que M est le maximum de E si pour tout e appartenant à E, e < M.

Et là, je n'arrive pas à voir quelle est la différence entre les deux. C'est clair que les définitions ne sont pas identiques, mais sur le plan pratique, pour moi, c'est la même chose...


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[invite986312212]

tu peux avoir des éléments de E qui ne sont pas comparables à N.

[invitec7217a00]

Salut,
moi je ne trouve pas ces deux définitions semblables du tout, tu es sûre que la première est correctement écrite?

- Pour le maximal, la définition dit que N est maximal dans E si pour tout e appartenant à E , et tel que e < N, alors e = N

pour moi ça se traduirait par N est maximal dans E si pour tout e appartenant à E, e > M.

Sinon je vois une autre nuance d'après ta formule, c'est que N appartient forcément à E. Par exemple si tu prends l'ensemble des réels dans l'intervalle [0;1] tu auras N = 0 et M > 1.

[invite35452583]

Si E est totalement ordonné (on peut toujours comparer deux éléments de E) alors il n'y aucune différence.
Par contre, si E ne l'est plus alors une 1ère différence est qu'un maximum est nécessairement unique (il est alors l'unique maximal) par contre si E n'a pas de maximum E peut avoir plusieurs maximaux (il ne peut en avoir aucun aussi sauf s'il est inductif et que l'on se place dans une théorie contenant l'axiome du choix).
Exemple :
N privé de 0 et la relation d'ordre xRy si x est divisible par y. Dans E, il n'y a aucun maximum et une infinité de maximaux : les entiers premiers.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

(il ne peut en avoir aucun aussi sauf s'il est inductif et que l'on se place dans une théorie contenant l'axiome du choix).

Si j'ai bien compris, tu dis qu'un ensemble partiellement ordonné a forcément au moins un élément maximal sauf s'il est inductif dans une théorie avec axiome du choix, il me semble au contraire qu'un ensemble inductif avec AC admet au moins un élément maximal (c'est le lemme de Zorn en fait). J'ai sans doute mal compris ce que tu voulais dire ...

[invite1237a629]

Si E est totalement ordonné (on peut toujours comparer deux éléments de E) alors il n'y aucune différence.
Par contre, si E ne l'est plus alors une 1ère différence est qu'un maximum est nécessairement unique (il est alors l'unique maximal) par contre si E n'a pas de maximum E peut avoir plusieurs maximaux (il ne peut en avoir aucun aussi sauf s'il est inductif et que l'on se place dans une théorie contenant l'axiome du choix).
Exemple :
N privé de 0 et la relation d'ordre xRy si x est divisible par y. Dans E, il n'y a aucun maximum et une infinité de maximaux : les entiers premiers.

Hm, ça va mieux je trouve ^^ Donc en gros, les entiers premiers seraient des maximUMs sur un certain intervalle, mais sur l'ensemble lui-même, ce ne sont que des maximAUx car ils ne sont pas comparables entre eux (non divisibilité car caractère premier) ?

Si je comprends bien, les maximaux et les maximums ne sont différents que si on se place dans un ensemble partiellement ordonné (c'est comme ça que ça s'appelle ?)...



@ ced-29 : exact, j'ai inversé le < et le >

En tout cas, c'est déjà beaucoup plus clair. Et merci encore ! En moins de deux heures j'ai eu quelque chose de plus compréhensible qu'un cours d'autant de temps

[invite35452583]

Si j'ai bien compris, tu dis qu'un ensemble partiellement ordonné a forcément au moins un élément maximal sauf s'il est inductif dans une théorie avec axiome du choix, il me semble au contraire qu'un ensemble inductif avec AC admet au moins un élément maximal (c'est le lemme de Zorn en fait). J'ai sans doute mal compris ce que tu voulais dire ...

Il y a un "ne" intempestif venant de je ne sais où qui s'est glissé dans ma parenthèse comme tu l'as très bien remarqué.


Pour MiMoiMolette, il me semble que tu as bien compris.