milieux diéléctriques et continuité des champs électriques

[invite3e1953b5]

Bonjour à tous

J'ai un problème avec quelquechose d'apparement tout simple : une sphère diéléctrique linéaire homogène isotrope uniformément polarisée entourée de vide. Je cherche le champ électrique en tout point de l'espace.

Je résoud donc mon équation de Poisson. Je cherche donc ma densité de charges.
Avec div P = - rho(polarisation) (P étant le vecteur polarisation) j'en déduis que rho(polarisation) est nulle puisque P est uniforme. Je sais alors que rho(libres) est également nul en injectant la relation constitutive d'un diéléctrique l.h.i.
1ère question : comment puis-je connaitre cette densité de charges libres si le diéléctrique n'est pas linéaire homogène isotrope ? et un diéléctrique peut-il etre chargé ou doit-il etre globalement neutre ?

Je résoud donc en prenant comme potentiel un développement en harmoniques sphériques. Je n'ai que 2 coefficients non nuls, l'un pour le terme en r et l'autre pour le terme en 1/r². Le potentiel étant fini en r=0 et à l'infini, 2 coefficients sur les 4 sont nuls, il ne m'en reste que 2, puis un seul puisque le potentiel est continu à l'interface entre les 2 milieux.
Pour trouver ce dernier, je me sers des relations de continuité. Je trouve d'abord la densité surfacique de charges libres qui est P scalaire la normale sortante. Et la stupeur je trouve dans la version corrigée de mon problème que la densité surfacique totale est nulle, et donc sigma(polarisation) = - sigma(libres).
2ème question : est-ce juste ?

Je continue mon problème en considérant que je n'ai pas d'informations sur sigma(libres). J'applique donc mes relations de passage pour E et D . Je déduis en effet E de -grad V et D = epsilon E. La version corrigée me dit que la composante tangentielle de D est continue, ce qui m'amène à une permittivité relative égale à 1, donc une polarisation nulle et donc pas de diéléctrique, ce qui me parait étrange !
3ème question : aie-je le droit de dire que la composante tangentielle de D est continue ? J'ai cru comprendre en discutant avec des gens que les relations de passage me disaient que la composante normale de D est discontinue et que la composante tangentielle de E est continue. Est-ce bien cela ? Et dans le cas d'un diéléctrique non l.h.i, serait-il possible d'avoir une permittivité relative égale à 1, puisque cela n'impliquerait alors pas forcément une polarisation nulle ?

dernière question : je ne comprends pas comment appliquer le théorème de Gauss ici... J'ai trouve des densités de charges nulles (à moins que cela ne soit faux), ce qui implique que je trouve des champs nuls... pourquoi ??


Infiniement merci à tous !!
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[invite93279690]

bonjour,

je ne sais pas si tu as trouvé la solution à ta derniere question mais au cas ou....je vais essayer de te la donner

en fait il faut utiliser la relation qui donne le potentiel en fonction du vecteur polarisation
(ou A est un point de la sphère puisque la polarisation est nulle à l'exterieur de la sphère) normalement, cette relation te permet de trouver V(M) dans tout l'espace.
Ensuite vu que est uniforme dans la sphère tu peux ecrire:
si ensuite on introduit
on a alors :.
La méthode consiste ensuite a calculer à l'aide du théorème de Gauss appliqué à une sphère uniformément chargée de densité volumique uniforme, ce qui nous donne :
où est le champ electrique crée par la sphère en un point M de l'espace que l'on peut aisement calculer à l'aide du theoreme de gauss.
Une fois trouvé on en déduit que l'on reinjecte ensuite dans l'expression de V(M) de notre probleme de depart.
J'ai beaucoup dû utiliser cette methode en magnétisme cette année, donc normalement elle fonctionne pour les milieux dielectriques (par contre il y a peut etre une méthode plus courte pour y arriver mais je ne la connais pas).

[invitee3133801]

gatsu > ta méthode est bien mais je ne crois pas qu'elle convienne pour tous les points de l'espace. En effet, tu utilises la formule du dipole électrique afin de calculer le potentiel. Or cette formule n'est valable que pour les points éloignés de la distribution.

[invite93279690]

gatsu > ta méthode est bien mais je ne crois pas qu'elle convienne pour tous les points de l'espace. En effet, tu utilises la formule du dipole électrique afin de calculer le potentiel. Or cette formule n'est valable que pour les points éloignés de la distribution.

Non il me semble que cette formule fonctionne dans tout l'espace en premiere approximation (en tout cas c'est ce que mon prof de magnetisme dans les milieux m'a fait comprendre cette année puisqu'on a fait exactement le meme exercice mais avec une sphère uniformémént aimantée).
Il me semble que ceci est dû au fait que le volume est très grand devant le "volume" d'une molécule c'est à dire d'un moment dipolaire et très petit devant le volume de la sphère...

[A voir en vidéo sur Futura]