Problème de RdM et de compression

[invitef7e45343]

dans l'énoncé suivant, quelle est l'importance de Eb et Ea pour le calcul de d ?
" Une poutre en béton est renforcée avec 4 fers en acier de diamètre inconnu. La poutre est rectangulaire(200x220mm) La contrainte adm en compression du béton est de 7N/mm2(Eb = 1400daN/mm2)
La contrainte adm de l'acier est de 150 N/mm2(Ea=20000daN/mm2) Si la poutre doit supporter une charge de compression de 500 000 N déterminer d le diamètre des fers?" Sans tenir compte de Eb et Ea je trouve d = 19 mm ai je tout bon?
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[chaverondier]

dans l'énoncé suivant, quelle est l'importance de Eb et Ea pour le calcul de d ?
" Une poutre en béton est renforcée avec 4 fers en acier de diamètre inconnu. La poutre est rectangulaire (200x220mm) La contrainte adm en compression du béton est de 7N/mm2(Eb = 1400daN/mm2)
La contrainte adm de l'acier est de 150 N/mm2 (Ea = 20 000daN/mm²) Si la poutre doit supporter une charge de compression de 500 000 N déterminer d le diamètre des fers?" Sans tenir compte de Eb et Ea je trouve d = 19 mm ai je tout bon?

Si on veut avoir une contrainte admissible à la fois dans l'acier et dans le béton, il faut une déformation epsilon = delta L/L respectant les 2 inégalités ci-dessous :
Ea epsilon < sigma_ad_acier = 150 Mpa soit epsilon < 150/200 000
Eb epsilon < sigma_ad_béton = 7 Mpa soit epsilon < 7/14 000

Cela nous donne pour epsilon une valeur ne devant pas dépasser 0,5 10^-3

Avec cette valeur maximale admissible pour epsilon,

• le béton se charge de supporter un effort
  Fb = Eb (200x220 - 4 pi d²/4) epsilon
• l'acier se charge de supporter un effort
  Fa = Ea (4 pi d²/4) epsilon
• le tout, Fa + Fb, devant atteindre la valeur Ftot = 500 000 N

Cela nous donne :
Eb (200x220 - pi ^d²) + Ea pi ^d² = Ftot/epsilon

D'où
(Ea - Eb) pi ^d² = Ftot/epsilon - Ebx200x220
d² = (Ftot/epsilon - Ebx200x220)/[pi x (Ea - Eb)]
d = {[500 000/(0.5 10^-3)-14 000x200x220]/(pi x186 000)}^1/2
d = [3.84 10^8/(pi x186 000)]^1/2 = 25.6 mm

Donc il faut 4 fers en acier en phi 30

Attention, par ailleurs,

• de vérifier la stabilité en compression du poteau (on doit se prémunir, par un dimensionnement approprié, du mode de ruine par flambement du poteau dépendant, en sus de sa section, de sa hauteur et des conditions d'appui à ses extrémités)
• de vérifier que l'éloignement des fers au bord de la section droite du poteau, ainsi que l'espacement entre fers, respecte les règles d'espacement préconisées dans le règlement applicable au problème posé.

[invitef7e45343]

Si on veut avoir une contrainte admissible à la fois dans l'acier et dans le béton, il faut une déformation epsilon = delta L/L respectant les 2 inégalités ci-dessous :
Ea epsilon < sigma_ad_acier = 150 Mpa soit epsilon < 150/200 000
Eb epsilon < sigma_ad_béton = 7 Mpa soit epsilon < 7/14 000

Cela nous donne pour epsilon une valeur ne devant pas dépasser 0,5 10^-3

Avec cette valeur maximale admissible pour epsilon,

• le béton se charge de supporter un effort
  Fb = Eb (200x220 - 4 pi d²/4) epsilon
• l'acier se charge de supporter un effort
  Fa = Ea (4 pi d²/4) epsilon
• le tout, Fa + Fb, devant atteindre la valeur Ftot = 500 000 N

Cela nous donne :
Eb (200x220 - pi ^d²) + Ea pi ^d² = Ftot/epsilon

D'où
(Ea - Eb) pi ^d² = Ftot/epsilon - Ebx200x220
d² = (Ftot/epsilon - Ebx200x220)/[pi x (Ea - Eb)]
d = {[500 000/(0.5 10^-3)-14 000x200x220]/(pi x186 000)}^1/2
d = [3.84 10^8/(pi x186 000)]^1/2 = 25.6 mm

Donc il faut 4 fers en acier en phi 30

Attention, par ailleurs,

• de vérifier la stabilité en compression du poteau (on doit se prémunir, par un dimensionnement approprié, du mode de ruine par flambement du poteau dépendant, en sus de sa section, de sa hauteur et des conditions d'appui à ses extrémités)
• de vérifier que l'éloignement des fers au bord de la section droite du poteau, ainsi que l'espacement entre fers, respecte les règles d'espacement préconisées dans le règlement applicable au problème posé.

c'est formidable de pouvoir compter sur une aide et obtenir une réponse aussi rapide. Je m'attèle tout de suite à la démonstration en compagnie de mon livre de Méca! Merci!