[Opérateur d'évolution] Je n'arrive pas à retrouver le résultat.

[herman]

Bonjour,

Dans un de mes cours j'ai cette ligne :

On peut montrer que :

Evidemment il n'y a que ça sans la démonstration. (EDIT : on lit mal mais au dénominateur de l'exp c'est un t'²)

Pour compléter, j'indique les deux choses posées au préalable :




Donc voilà, devant l'exponentielle on a un terme de normalisation mais sans même parler de ça je ne vois pas comment on obtient l'exponentielle (celle de la citation, car celle qui est posé en dessous est juste là parce qu'on dit que les fonctions d'ondes sont gaussiennes).

Merci d'avance si vous avez une idée ou un lien.
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[invitea774bcd7]

Et H0 ? C'est l'Hamiltonien libre p2/2m ? (probablement pour faire apparaître la masse…)

[invitea774bcd7]

Nan… m, c'est pas une masse, ce serait pas homogène… C'est quoi m ? (ça a la dimension L^-4 T^2 )

[herman]

Bonjour,

Oui c'est bien l'hamiltonien libre désolé, j'ai pas précisé certains trucs vu qu'il faut connaitre un minimum pour pouvoir résoudre le problème .

Pour l'homogénéité j'ai pas vérifié mais je ne vois pas où j'aurai pu mal recopié...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea774bcd7]

Pour l'homogénéité j'ai pas vérifié mais je ne vois pas où j'aurai pu mal recopié...

C'est pas une question de mal recopier ou non… Tu peux vérifier par toi-même qu'avec m étant une masse, tout ça n'est pas homogène (puisque t est un temps et b une longueur). J'invente rien…

[Armen92]

Pour une particule de masse , libre dans , le propagateur est :

Je ne comprends pas la dépendance en temps du préfacteur que vous donnez...

[herman]

Guerom00 : Je parle d'erreur de réécriture car la faute est grossière, ça ne peut pas venir du cours original. Maintenant je ne vois pas ce que je peux faire pour rendre la chose homogène :/ (et par contre tu as oublié d'appliquer la racine, la dimension de m est T L^-2).

Armen92 : Pouvez-vous préciser lorsque vous parlez de préfacteur ?

[Armen92]

Guerom00 : Je parle d'erreur de réécriture car la faute est grossière, ça ne peut pas venir du cours original. Maintenant je ne vois pas ce que je peux faire pour rendre la chose homogène :/ (et par contre tu as oublié d'appliquer la racine, la dimension de m est T L^-2).

Armen92 : Pouvez-vous préciser lorsque vous parlez de préfacteur ?

J'ai lu trop vite ; il n'y a pas que le préfacteur qui me pose problème : la dépendance en temps de l'argument de l'exponentielle ne correspond pas à une particule libre (voir mon message où je rappelle l'expression du propagateur).

[Armen92]

J'ai lu trop vite ; il n'y a pas que le préfacteur qui me pose problème : la dépendance en temps de l'argument de l'exponentielle ne correspond pas à une particule libre (voir mon message où je rappelle l'expression du propagateur).

Je cède à l'auto-citation pour me rectifier...

J'avais mal compris le problème. Ce n'est pas le propagateur que vous cherchez, mais l'état issu de la gaussienne que vous précisez.

En convoluant cette gaussienne avec le propagateur que j'ai écrit plus haut, vous devez retrouver le résultat qui vous a été donné sans démonstration.

Avec toutes mes excuses...

[herman]

Oui ça pourrait bien fonctionner en effet mais le calcul va être lourd (rien que le changement de variable...).
Avant tout je me demande quand même comment justifier l'erreur dimensionnelle ? Elle se répète deux fois dans mon cours donc logiquement j'ai bien recopié...

[Armen92]

1) Oui ça pourrait bien fonctionner en effet mais le calcul va être lourd (rien que le changement de variable...).
2) Avant tout je me demande quand même comment justifier l'erreur dimensionnelle ? Elle se répète deux fois dans mon cours donc logiquement j'ai bien recopié...

1) Le calcul direct est lourd, certes, mais par le théorème de convolution, on sait que la convolution de deux gaussiennes et une gaussienne, donc ça va en fait très vite.
2) il n'y a rien à "justifier". Ce qui est noté "m" dans vos expressions n'est pas une masse mais l'inverse d'un produit longueur x vitesse.

En fait, au dénominateur de l'argument de l'exponentielle, on doit trouver (à des broutilles près) l'expression de l'écart quadratique à l'instant , qui doit être quelque chose comme :

Je devine donc que dans vos expressions, un a été oublié ; là, tout s'arrange.
(Pour éviter toute confusion, ce que j'ai noté "m" est bien la masse de la particule).

[herman]

Ah j'ai complètement oublié que tout ceci n'était probablement pas en MKSA mais en mev fermi c... Donc effectivement c et valent 1.

Pour la convolution, je connais les astuces de convolution mais j'ai pas la démarche complète en tête pour extraire la gaussienne finale mais je le ferai demain.

Mais maintenant que j'ai éclaircit le problème dimensionnelle (car ça doit bien être une masse au final) et que vous m'avez éclairé avec le propagateur, ça devrait aller, merci !